Tiempo lineal frente a tiempo constante
. Un sistema de coordenadas afín en An está determinado por n + 1 puntos afínmente independientes (p0, p1, …, pn) lo que significa que los n vectores de desplazamiento ai = pi – p0 constituyen una base para V.El espacio vectorial V es canónico en el sentido de que el plano tangente TpA2 en cada punto puede identificarse con él. Para cualquier espacio vectorial n-dimensional se pueden tomar productos antisimétricos de k vectores, llamados producto cuña, que es una generalización del producto cruzado binario al caso multivariable (Spivak 1979). El espacio de todas las combinaciones posibles de k-productos, para k que va de 0 a n, es el álgebra exterior sobre V (Conlon 1993). Su subespacio de k-productos para un k particular se denota por ΛkV. Para k = n, ΛnV es un espacio unidimensional de formas determinantes, que sirve para definir el volumen sobre V. Cada base {ei} de V determina un paralelótopo n-dimensional cuyo volumen es e1 _^e2 _^… _^en ∈ ΛnV; por tanto, se puede fijar un volumen unitario eligiendo dicha base. Denotando con corchetes el volumen determinado por n vectores independientes respecto a una base elegida: ai = Σxijej, el volumen viene dado por el determinante de la matriz de los componentes vectoriales (el producto cuña de n de n vectores). Para el plano afín, en particular, un par de vectores no colineales determina el área de un paralelogramo
Función lineal frente a constante
Imagen de un fractal con forma de helecho (helecho de Barnsley) que presenta autosimilitud afín. Cada una de las hojas del helecho está relacionada con las demás mediante una transformación afín. Por ejemplo, la hoja roja puede transformarse en la hoja azul oscuro y en cualquiera de las hojas azul claro mediante una combinación de reflexión, rotación, escala y traslación.
En geometría euclidiana, una transformación afín, o una afinidad (del latín, affinis, “conectado con”), es una transformación geométrica que preserva las líneas y el paralelismo (pero no necesariamente las distancias y los ángulos).
En términos más generales, una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son espacios afines específicos), es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo preservando tanto la dimensión de cualquier subespacio afín (lo que significa que envía puntos a puntos, líneas a líneas, planos a planos, etc.) como las relaciones de las longitudes de los segmentos de líneas paralelas. En consecuencia, los conjuntos de subespacios afines paralelos siguen siendo paralelos después de una transformación afín. Una transformación afín no conserva necesariamente los ángulos entre líneas o las distancias entre puntos, aunque sí conserva las relaciones de las distancias entre puntos situados en una línea recta.
Función lineal
Una función lineal fija el origen, mientras que una función afín no necesita hacerlo. Una función afín es la composición de una función lineal con una traslación, por lo que mientras la parte lineal fija el origen, la traslación puede asignarlo a otro lugar.
Las funciones lineales entre espacios vectoriales preservan la estructura del espacio vectorial (por lo que, en particular, deben fijar el origen). Mientras que las funciones afines no preservan el origen, sí preservan algunas de las otras geometrías del espacio, como la colección de líneas rectas.
De forma más abstracta, una función es lineal si y sólo si preserva la estructura lineal (también conocida como espacio vectorial), y es afín si y sólo si preserva la estructura afín. La estructura del espacio vectorial consiste en las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares, que son preservadas por las funciones lineales:
A veces se puede extender a los irracionales algebraicos dadas las ecuaciones de auto-morfismo de campo, aunque “aparentemente” ya especifican la función y conceden continuidad Tengo algunos problemas con eso (pero esa es otra historia; vis a vis los números trans-trascendentales).
Función afín
Una herramienta clave que vamos a utilizar en la demostración de nuestro resultado principal es el siguiente teorema de [5, Teorema 3.3]. Este teorema da una solución general de la forma más general de la ecuación funcional de cocos.
donde \(b_0(y)\) es constante (con respecto a x), \(x\longrightarrow b_1(x,\cdot )\) es aditivo, y \(x\longrightarrow b_2(x,x,\cdot )\) es una diagonalización de un mapa bi-aditivo simétrico. No es difícil comprobar que \(b_0, b_1, b_2\) son aditivos con respecto a y.
Para presentar nuestro siguiente resultado necesitamos algún tipo de simetría de \(\omega \) y esto nos lleva a la consideración de \(\omega \) como un mapa de tres variables. El siguiente teorema generaliza el Corolario 8 de [3] en el caso de que G sea un espacio lineal.
Aequat. Math. 95, 985-1000 (2021). https://doi.org/10.1007/s00010-021-00800-2Download citationShare this articleAnyone you share the following link with will be able to read this content:Get shareable linkSorry, a shareable link is not currently available for this article.Copy to clipboard