Calculadora de polinomios mínimos
Sea A una matriz cuadrada cualquiera de orden n x n y I una matriz unitaria del mismo orden. Entonces |A-λI| se llama polinomio característico de la matriz. Entonces la ecuación |A-λI| = 0 se llama raíces características de la matriz. Las raíces de esta ecuación se llaman raíces características de la matriz.Las raíces características también se conocen como raíces latentes o valores propios de una matriz.Ejemplo :Determinar las raíces características de la matriz
Una de las raíces es λ = 2.Para obtener las otras dos raíces, resuelve la ecuación resultante λ2 + 2λ – 2 = 0 en la división sintética anterior utilizando la fórmula cuadrática. λ = [-b ± √(b2 -4ac)]/2aEn λ2 + 2λ – 2 = 0, a = 1, b = 2 y c = -2. Sustituye los valores de a, b y c en la fórmula cuadrática. λ = [-2 ± √(4 + 8)]/2= [-2 ± √12]/2= [-2 ± √12]/2 = [-2 ± 2√3]/2= -1 ± √3Por tanto, las raíces características son 1, -1 ± √3.
Polinomio característico 3×3
Este artículo trata del polinomio característico de una matriz o de un endomorfismo de espacios vectoriales. Para el polinomio característico de un matroide, véase Matroide. Para el de un poset graduado, véase Poset graduado.
En álgebra lineal, el polinomio característico de una matriz cuadrada es un polinomio que es invariante bajo la similitud de matrices y tiene los valores propios como raíces. Tiene el determinante y la traza de la matriz entre sus coeficientes. El polinomio característico de un endomorfismo de un espacio vectorial finito es el polinomio característico de la matriz de ese endomorfismo sobre cualquier base (es decir, el polinomio característico no depende de la elección de una base). La ecuación característica, también conocida como ecuación determinista,[1][2][3] es la ecuación que se obtiene al igualar el polinomio característico a cero.
En el álgebra lineal, los valores propios y los vectores propios desempeñan un papel fundamental, ya que, dada una transformación lineal, un vector propio es un vector cuya dirección no cambia con la transformación, y el valor propio correspondiente es la medida del cambio de magnitud resultante del vector.
Polinomio característico en línea
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Calculadora de polinomios característicos
es un valor propio de una matriz, y si es así, cómo encontrar todos los vectores propios asociados. En esta sección, daremos un método para calcular todos los valores propios de una matriz. Esto no se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales: de hecho, requiere resolver una ecuación no lineal en una variable, es decir, encontrar las raíces del polinomio característico.
Existen fórmulas algebraicas para las raíces de los polinomios cúbicos y cuárticos, pero suelen ser demasiado engorrosas para aplicarlas a mano. Peor aún, se sabe que no existe ninguna fórmula algebraica para las raíces de un polinomio general de grado al menos 5.
En la práctica, las raíces del polinomio característico se encuentran numéricamente por ordenador. No obstante, existen métodos para encontrar las raíces a mano. Por ejemplo, tenemos la siguiente consecuencia del teorema de la raíz racional (que también llamamos teorema de la raíz racional):