Funciones continuas, discontinuas y a trozos
En el applet de abajo, las líneas pueden ser arrastradas como un todo o con uno de los dos puntos de definición. Cuando se arrastra una recta o se hace clic sobre ella, se muestra una de sus ecuaciones justo debajo de la gráfica. Con la casilla Reducir marcada, la ecuación aparece en su forma más simple. El applet puede mostrar varias líneas simultáneamente. Para obtener líneas adicionales, marque la casilla Duplicar y comience a arrastrar una de las líneas ya presentes hasta la posición deseada. De hecho, estará arrastrando una copia recién creada de esa línea.
A continuación doy varias formas de la ecuación de una recta en función de los atributos con los que esté definida. En todos los casos, la comprobación es sencilla. Introduce los datos y comprueba que satisfacen la ecuación. Todas las ecuaciones que aparecen a continuación se derivan en el sistema de coordenadas cartesianas habitual.
Los coeficientes A y B en la ecuación general son las componentes del vector n = (A, B) normal a la recta. El par r = (x, y) puede considerarse de dos maneras: como un punto o como un radio-vector que une el origen con ese punto. Esta última interpretación muestra que una recta es el lugar de los puntos r con la propiedad
Ecuaciones vectoriales de líneas
Sólo tienes que introducir las coordenadas (x1, y1) (x2, y2) de cada uno de los puntos conocidos y pulsar el botón calcular para obtener el resultado. Si quieres saber cómo encontrar la ecuación de la recta y ver ejercicios resueltos para cada caso, sigue leyendo a continuación.
En este caso resolver el problema es bastante sencillo ya que sólo tenemos que sustituir la ecuación y simplificarla al máximo. Para ver cómo se hace, haremos un ejercicio en el que se nos pide que calculemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, 5) y (2, 1):
Para saber si un punto pertenece a una recta determinada simplemente tenemos que coger la ecuación de esa recta y sustituir en ‘x’ e ‘y’ los valores del punto que nos dan. Si se cumplen las igualdades, el punto pertenecerá a la recta y si no se cumplen, entonces no.
Ecuación de continuidad
Ya hemos examinado las funciones de más de una variable y hemos visto cómo graficarlas. En esta sección veremos cómo tomar el límite de una función de más de una variable y qué significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que no se dan con las funciones de una variable.
Antes de poder adaptar esta definición para definir un límite de una función de dos variables, tenemos que ver primero cómo extender la idea de un intervalo abierto en una variable a un intervalo abierto en dos variables.
La idea de disco aparece en la definición de límite de una función de dos variables. Si es pequeño, entonces todos los puntos del disco están cerca de Esto es completamente análogo a estar cerca de en la definición de un límite de una función de una variable. En una dimensión, expresamos esta restricción como
si para cada uno de ellos existe un valor lo suficientemente pequeño como para que para todos los puntos de un disco alrededor, excepto posiblemente para sí mismo, el valor de no está más que lejos de ((Figura)). Usando símbolos, escribimos lo siguiente: Para cualquier existe un número tal que
8.1 ecuaciones de las líneas en el 2-espacio y en el 3-espacio
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
A lo largo de las últimas secciones hemos estado utilizando el término “suficientemente agradable” para definir aquellas funciones cuyos límites podríamos evaluar simplemente evaluando la función en el punto en cuestión. Ahora es el momento de definir formalmente lo que queremos decir con “suficientemente agradable”.
Obsérvese que esta definición también está suponiendo implícitamente que tanto \N(f\a izquierda( a \a derecha)\Ncomo \N(\Nmathop {{lim }\a} f\a izquierda( x \a derecha)\Nexisten. Si alguno de ellos no existe, la función no será continua en \(x = a\).
\Si no existe ninguna de ellas, la función no será continua en x = a. 5in} {mathop {lim }limits_{x \}a {a^ – }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in} {mathop {lim }limits_{x \\}a {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\}