Ecuación diferencial térmica
Al igual que en el caso de la resolución de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes (estableciendo primero y = e mx y resolviendo después la ecuación cuadrática auxiliar resultante para m), este proceso de resolución de la ecuación equidimensional también da lugar a una ecuación polinómica cuadrática auxiliar. La pregunta aquí es, ¿cómo se interpreta que y = x m da dos soluciones linealmente independientes (y por tanto la solución general) en cada uno de los tres casos para las raíces de la ecuación cuadrática resultante?
Como las raíces de la ecuación cuadrática resultante son reales y distintas (caso 1), tanto y = x 1 = x como y = x 3 son soluciones y linealmente independientes, y la solución general de esta ecuación homogénea es
Como las raíces de la ecuación cuadrática resultante son reales e idénticas (Caso 2), tanto y = x 2 como y = x 2 En x son soluciones (linealmente independientes), por lo que la solución general (válida para x > 0) de esta ecuación homogénea es
Si se desea la solución general de una ecuación equidimensional no homogénea, primero se utiliza el método anterior para obtener la solución general de la ecuación homogénea correspondiente; luego se aplica la variación de parámetros.
Solucionador de ecuaciones diferenciales
En matemáticas, una ecuación de Euler-Cauchy, o ecuación de Cauchy-Euler, o simplemente ecuación de Euler es una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes variables. A veces se la denomina ecuación equidimensional. Debido a su estructura equidimensional particularmente simple, la ecuación diferencial puede resolverse explícitamente.
La ecuación de Cauchy-Euler más común es la ecuación de segundo orden, que aparece en varias aplicaciones de física e ingeniería, como cuando se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas polares. La ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden es[1][2]
Ahora se puede proceder como en el caso de la ecuación diferencial, ya que la solución general de una ecuación diferencial lineal de N-ésimo orden es también la combinación lineal de N soluciones linealmente independientes. Aplicando la reducción de orden en el caso de una raíz múltiple m1 se obtendrán expresiones que implican una versión discreta de ln,
Ecuación diferencial corta
\N-[\Ncancel{e^{2t}}cancel{e^{2t}}left( {\frac{{d^2}y}{d{t^2}} – \frac{dy}{dt}} \right) + A\cancel{e^t}cancel{e^{ – t}}frac{dy}{dt}} + By = 0,\N; \N-flecha derecha \Nfrac{{d^2}}y}{d{t^2}} – \frac{{dy}}{dt}} + A\frac{{dy}{dt}} + By = 0,\N; \N-flecha derecha \Nfrac{{d^2}y}{d{t^2}} + \left( {A – 1} \right)\frac{{dy}}{dt}} + By = 0.\N-]
Ahora podemos determinar las raíces de la ecuación característica y escribir la solución general de la función \left( t \right).\N-. Entonces podemos volver fácilmente a la función \(y\left( x \right)\Nteniendo en cuenta que
\[{x^2}k\left( {k – 1} \right){x^{k – 2}} + Axk{x^k – 1} + B{x^k} = 0,\N; \N-flecha derecha kleft( {k – 1} \Nright){x^k} + Ak{x^k} + B{x^k} = 0 + B{x^k} = 0,\;\; \Rightarrow \left[ {k\left( {k – 1} \right) + Ak + B} \right]{x^k} = 0.\]
podemos construir fácilmente la solución general de forma similar al método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. El algoritmo de la solución es el siguiente:
Ecuación diferencial matricial
Sea \(\frac{dS(t)}{dt} = F(t,S(t))\frac) una EDO de primer orden definida explícitamente. Es decir, \(F\) es una función que devuelve la derivada, o el cambio, de un estado dado un tiempo y un valor de estado. Además, dejemos que \(t\) sea una malla numérica del intervalo \([t_0, t_f]\) con un espaciado \(h\). Sin pérdida de generalidad, suponemos que \(t_0 = 0\), y que \(t_f = Nh\) para algún entero positivo, \(N\).
Esta fórmula se llama la Fórmula Explícita de Euler, y nos permite calcular una aproximación para el estado en \(S(t_{j+1})\Ndado el estado en \(S(t_j)\N.) Partiendo de un valor inicial dado de \(S_0 = S(t_0)\), podemos utilizar esta fórmula para integrar los estados hasta \(S(t_f)\); estos valores \(S(t)\) son entonces una aproximación para la solución de la ecuación diferencial. La fórmula explícita de Euler es el método más sencillo e intuitivo para resolver los problemas de valor inicial. En cualquier estado \((t_j, S(t_j))\Nse utiliza \N(F\) en ese estado para “apuntar” hacia el siguiente estado y luego se mueve en esa dirección una distancia de \N(h\N). Aunque hay métodos más sofisticados y precisos para resolver estos problemas, todos tienen la misma estructura fundamental. Por ello, enumeramos explícitamente los pasos para resolver un problema de valor inicial utilizando la fórmula de Euler explícita.