Euler-lagrange-gleichung beispiel
Esta ecuación está relacionada con el nombre de J.L. Lagrange (1759, véase [1]); también fue investigada por J. d’Alembert, por lo que a veces se llama ecuación de d’Alembert. Un caso especial de la ecuación de Lagrange es la ecuación de Clairaut.
[1] J.L. Lagrange, “Sur l’intégration d’une équation différentielle” J.A. Serret (ed.) , Oeuvres , 1 , G. Olms, reimpresión (1973) pp. 21-36[2] W.W. [V.V. Stepanov] Stepanow, “Lehrbuch der Differentialgleichungen” , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956) (Traducido del ruso)
Cálculo variacional euler–lagrange
En el cálculo de variaciones y la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler-Lagrange[1] son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios del funcional de acción dado. Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange.
Dado que una función diferenciable es estacionaria en sus extremos locales, la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dada alguna función, se busca la función que la minimiza o maximiza. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo, que afirma que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local su derivada es cero.
En la mecánica lagrangiana, según el principio de acción estacionaria de Hamilton, la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones de la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler suelen llamarse ecuaciones de Lagrange. En la mecánica clásica, son equivalentes a las leyes del movimiento de Newton, pero tienen la ventaja de que adoptan la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas, y se adaptan mejor a las generalizaciones. En la teoría clásica de campos existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo.
Ecuación de Euler-Lagrange
En el cálculo de variaciones y en la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler-Lagrange[1] son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios del funcional de acción dado. Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange.
Dado que una función diferenciable es estacionaria en sus extremos locales, la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dada alguna función, se busca la función que la minimiza o maximiza. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo, que afirma que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local su derivada es cero.
En la mecánica lagrangiana, según el principio de acción estacionaria de Hamilton, la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones de la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler suelen llamarse ecuaciones de Lagrange. En la mecánica clásica, son equivalentes a las leyes del movimiento de Newton, pero tienen la ventaja de que adoptan la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas, y se adaptan mejor a las generalizaciones. En la teoría clásica de campos existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de Lagrange
La ecuación de Lagrange es una ecuación diferencial de segundo orden. Sin embargo, ¿es una ecuación diferencial ordinaria o parcial? En la wikipedia dice que es ambas, aquí es una EDP y aquí es una EDO. Entonces, ¿cuál es?
que puede llevar a una ecuación de tercer orden (y así sucesivamente). Sin embargo, para la física casi siempre trabajamos con Lagrangianos que conducen a EDOs de segundo orden (o de segundo orden en el tiempo para las EDP). La razón es que los lagrangianos que conducen a ecuaciones de movimiento de orden superior están plagados de inestabilidades y parece que la naturaleza odia las inestabilidades tanto como los físicos.