Ecuación de onda de Schrodinger para el átomo de hidrógeno
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Más allá de este caso sencillo, la formulación matemática de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac,[4] David Hilbert,[5] John von Neumann,[6] y Hermann Weyl[7] define el estado de un sistema mecánico cuántico como un vector
Las cantidades físicas de interés -posición, momento, energía, espín- se representan mediante “observables”, que son operadores lineales hermitianos (más exactamente, autoadjuntos) que actúan sobre el espacio de Hilbert. Una función de onda puede ser un vector propio de un observable, en cuyo caso se denomina estado propio, y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. De forma más general, un estado cuántico será una combinación lineal de los estados propios, conocida como superposición cuántica. Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus valores propios con una probabilidad dada por la regla de Born: en el caso más sencillo el valor propio
Ecuación de onda de Schrödinger en química
Para una partícula unidimensional en una caja , la energía de la partícula para una caja de dimensión L se puede calcular a continuación. Para una caja tridimensional habrá tres valores para el número cuántico n. Las energías para cada dimensión podrían calcularse y sumarse. La implicación de esa suma es que se necesita más energía para confinar una partícula en tres dimensiones que en una, y que la energía mínima de confinamiento para una caja tridimensional de dimensión L es tres veces la de una caja 1D.
El estado básico de una caja tridimensional de dimensión L puede obtenerse fijando n=1 para las tres dimensiones, lo que da una energía tres veces superior a la energía del estado básico de la caja unidimensional. El estado básico de la caja tridimensional sería
Aplicación de la ecuación de onda de Schrodinger
Los parciales con respecto al tiempo no son del mismo orden. ¿Cómo puede considerarse la ecuación de Schroedinger como una ecuación de onda? ¿Y por qué los patrones de interferencia (por ejemplo, en el experimento de la doble rendija) son tan similares para las ondas de agua y las funciones de onda cuánticas?
Ambas son tipos de ecuaciones de onda porque las soluciones se comportan como se espera de las “ondas”. Sin embargo, matemáticamente hablando, son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que no son del mismo tipo (por lo que se espera que la clase de soluciones, dadas algunas condiciones de contorno, presente un comportamiento diferente). Las restricciones sobre los valores propios del operador lineal también son particulares para cada uno de los tipos de EDP. En general, una ecuación diferencial parcial de segundo orden en dos variables puede escribirse como
Como señala Joe en su respuesta a un duplicado, la ecuación de Schrodinger para una partícula libre es una variante de la aproximación envolvente de variación lenta de la ecuación de onda, pero creo que su respuesta pasa por alto algunas sutilezas.
Como se ha destacado en otras respuestas y comentarios, el punto común entre estas ecuaciones es que sus soluciones son “ondas”. Es la razón por la que la física que describen (por ejemplo, los patrones de interferencia) es similar.
Derivación de la ecuación de onda de Schrodinger
El átomo de hidrógeno, formado por un electrón y un protón, es un sistema de dos partículas, y el movimiento interno de dos partículas alrededor de su centro de masa es equivalente al movimiento de una sola partícula con una masa reducida. Esta partícula reducida se encuentra en \(r\), donde \(r\) es el vector que especifica la posición del electrón respecto a la posición del protón. La longitud de \(r\) es la distancia entre el protón y el electrón, y la dirección de \(r\) y la dirección de \(r\) viene dada por la orientación del vector que apunta del protón al electrón. Como el protón es mucho más masivo que el electrón, supondremos a lo largo de este capítulo que la masa reducida es igual a la masa del electrón y que el protón se encuentra en el centro de masa.
emplea el mismo operador de energía cinética, \hat {T}\), escrito en coordenadas esféricas. Para el átomo de hidrógeno, sin embargo, la distancia, r, entre las dos partículas puede variar, a diferencia de la molécula diatómica donde la longitud de enlace era fija, y se utilizaba el modelo de rotor rígido. El Hamiltoniano del átomo de hidrógeno también contiene un término de energía potencial, \(\hat {V}\), para describir la atracción entre el protón y el electrón. Este término es la energía potencial de Coulomb,