Diferencia entre ecuación cuadrática completa e incompleta
Muchas ecuaciones cuadráticas no se pueden resolver mediante la factorización. Esto suele ocurrir cuando las raíces, o las respuestas, no son números racionales. Un segundo método para resolver ecuaciones cuadráticas implica el uso de la siguiente fórmula:
Al utilizar la fórmula cuadrática, debes tener en cuenta tres posibilidades. Estas tres posibilidades se distinguen por una parte de la fórmula llamada discriminante. El discriminante es el valor bajo el signo radical, b 2 – 4 ac. Una ecuación cuadrática con números reales como coeficientes puede tener lo siguiente:
No tiene solución en el sistema de números reales. Te puede interesar saber que el proceso de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas se utilizó en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 para derivar la fórmula cuadrática.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletas
¿Qué es una ecuación cuadrática? Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado, lo que significa que contiene al menos un término al cuadrado. La forma estándar es ax² + bx + c = 0, siendo a, b y c constantes, o coeficientes numéricos, y x una variable desconocida. Sigue leyendo para ver ejemplos de ecuaciones cuadráticas en formas estándar y no estándar, así como una lista de términos de ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos de ecuaciones en forma estándarLa manera más fácil de aprender ecuaciones cuadráticas es comenzar en la forma estándar. Aunque no todas las ecuaciones cuadráticas que veas estarán en esta forma, sigue siendo útil ver ejemplos. Ten en cuenta que la primera constante a no puede ser un cero.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletasA medida que desarrolles tus habilidades de álgebra, encontrarás que no todas las ecuaciones cuadráticas están en la forma estándar. Mira ejemplos de diferentes casos de ecuaciones cuadráticas no estándar. Falta el coeficiente linealA veces una ecuación cuadrática no tiene el coeficiente lineal o la parte bx de la ecuación. Los ejemplos incluyen:
5 ejemplo de ecuación cuadrática incompleta
Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a, b, c y d de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:
No es necesario que los coeficientes sean números reales. Gran parte de lo que se trata a continuación es válido para los coeficientes de cualquier campo con característica distinta de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales).
En el siglo VII, el matemático astrónomo de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció sistemáticamente y resolvió numéricamente 25 ecuaciones cúbicas de la forma x3 + px2 + qx = N, 23 de ellas con p, q ≠ 0, y dos de ellas con q = 0.[11]
Hojas de trabajo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
La resolución de ecuaciones es el tema central del álgebra. Todas las habilidades aprendidas conducen finalmente a la capacidad de resolver ecuaciones y simplificar las soluciones. En los capítulos anteriores hemos resuelto ecuaciones de primer grado. Ahora tienes las habilidades necesarias para resolver ecuaciones de segundo grado, que se conocen como ecuaciones cuadráticas.
Un teorema importante, que no se puede demostrar al nivel de este texto, afirma que “Toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces”. Este hecho nos dice que las ecuaciones cuadráticas siempre tendrán dos soluciones. Es posible que las dos soluciones sean iguales.
No intentaremos demostrar este teorema, pero fíjate bien en lo que dice. Nunca podemos multiplicar dos números y obtener una respuesta de cero a menos que al menos uno de los números sea cero. Por supuesto, ambos números pueden ser cero ya que (0)(0) = 0.
Las soluciones pueden indicarse escribiendo x = 6 y x = – 1 o utilizando la notación de conjuntos y escribiendo {6, – 1}, con lo que leemos “el conjunto solución para x es 6 y – 1”. En este texto utilizaremos la notación de conjuntos.