Ecuación de Dirac hidrógeno
El espectro del átomo de hidrógeno fue la primera prueba real que la ecuación de Schroidinger superó perfectamente al predecir todas las líneas con una energía expresada en términos de constantes dunemtales. La ecuación de Schroinger abrió así la puerta al tratamiento sistémico de los espectros y estructuras de átomos y moelcuelos mucho más complejos que el átomo de H, que desgraciadamente no admiten una solución exacta. Por eso valoramos tanto la solución del átomo de H. Proporciona un bloque de construcción fundamental para entender sistemas más complejos.
Esta vez la parte radial del operador laplaciano es distinta de cero porque la coordenada $r$, que es la distancia entre el electrón y el núcleo, ya no es una constante. El electrón no es un objeto puntiagudo que se mueve en órbitas consantes como se representaba erróneamente en las primeras teorías cuánticas de Bohr y otros.
Solución de la ecuación de Schrodinger
El átomo de hidrógeno, formado por un electrón y un protón, es un sistema de dos partículas, y el movimiento interno de dos partículas alrededor de su centro de masa es equivalente al movimiento de una sola partícula con una masa reducida. Esta partícula reducida se encuentra en \(r\), donde \(r\) es el vector que especifica la posición del electrón respecto a la posición del protón. La longitud de \(r\) es la distancia entre el protón y el electrón, y la dirección de \(r\) y la dirección de \(r\) viene dada por la orientación del vector que apunta del protón al electrón. Como el protón es mucho más masivo que el electrón, supondremos a lo largo de este capítulo que la masa reducida es igual a la masa del electrón y que el protón se encuentra en el centro de masa.
emplea el mismo operador de energía cinética, \hat {T}\), escrito en coordenadas esféricas. Para el átomo de hidrógeno, sin embargo, la distancia, r, entre las dos partículas puede variar, a diferencia de la molécula diatómica donde la longitud de enlace era fija, y se utilizaba el modelo de rotor rígido. El Hamiltoniano del átomo de hidrógeno también contiene un término de energía potencial, \(\hat {V}\), para describir la atracción entre el protón y el electrón. Este término es la energía potencial de Coulomb,
Ecuación de onda de Schrödinger
Espero que sepas que sólo necesitas saber cómo usar las funciones de onda (cómo normalizarlas, cómo mostrar que son ortogonales, cómo encontrar los nodos radiales y angulares, etc), y quizás saber los pasos básicos de la siguiente derivación.
#sobrebrace(1/R (d)/(dr) (r^2 (dR)/(dr)))^(“Componente radial”) + sobrebrace(1/Y 1/(sintheta) (del)/(del theta)(sintheta (delY)/(del theta)) + 1/Y 1/(sin^2theta) (del^2Y)/(delphi^2))^”Componente angular” + overbrace((2mu r^2)/(ℏ^2) (E + e^2/(4piepsilon_0r)))^”Componente radial” = 0#
Pero como son funciones de diferentes variables, eso sólo puede funcionar si son iguales a la misma constante de separación, que designamos arbitrariamente #lambda# (asignamos el signo negativo colgante a la parte radial):
Ahora reordenamos estas ecuaciones diferenciales ordinarias por separado. Tomemos primero la componente radial. Cambiamos los signos y multiplicamos por #R# desde la izquierda. Resta sobre #lambdaR# para obtener entonces:
La parte angular sigue siendo una función de #theta# y #phi#, así que tenemos que separarla más. Supongamos que #Y_(l)^(m_l) (theta,phi) = Theta(theta)Phi(phi)#. Repite el mismo proceso visto en la primera separación de variables.
Ecuación de onda átomo de hidrógeno
La constante de Planck (denominada h) es una constante natural que lleva el nombre de Max Planck, uno de los fundadores de la teoría cuántica. Su valor es aproximadamente h = 6,63 × 10-34 J s. Una cantidad estrechamente relacionada es la constante de Planck reducida (también conocida como constante de Dirac y denotada ħ, pronunciada “h-bar”).
La constante de Planck tiene las dimensiones de la energía multiplicada por el tiempo, que son también las dimensiones de la acción. En unidades del SI, la constante de Planck se expresa en julios-segundo. Las dimensiones también pueden escribirse como momento por distancia (N-m-s), que son también las dimensiones del momento angular.