Plano tangente 3 variables
Las derivadas y las rectas tangentes van de la mano. Dado y=f(x), la recta tangente a la gráfica de f en x=x0 es la recta que pasa por (x0,f(x0)) con pendiente f′(x0); es decir, la pendiente de la recta tangente es la tasa de variación instantánea de f en x0.
Cuando se trata de funciones de dos variables, la gráfica ya no es una curva sino una superficie. En un punto dado de la superficie, parece que hay muchas líneas que se ajustan a nuestra intuición de ser “tangentes” a la superficie.
En la figura 13.7.1 vemos las líneas que son tangentes a las curvas en el espacio. Como cada curva se encuentra en una superficie, tiene sentido decir que las líneas también son tangentes a la superficie. La siguiente definición define formalmente lo que significa ser “tangente a una superficie”.
Es instructivo considerar cada una de las tres direcciones dadas en la definición en términos de “pendiente”. La dirección de ℓx es ⟨1,0,fx(x0,y0)⟩; es decir, el “recorrido” es una unidad en la dirección x y la “subida” es fx(x0,y0) unidades en la dirección z. Nótese cómo la pendiente es sólo la derivada parcial con respecto a x. Se puede hacer una afirmación similar para ℓy. La dirección de ℓu→ es ⟨u1,u2,Du→f(x0,y0)⟩; el “recorrido” es una unidad en la dirección u→ (donde u→ es un vector unitario) y la “subida” es la derivada direccional de z en esa dirección.
Calculadora de planos tangentes
Calcular plano tangente a superficieAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo aproximar gradientes de una función por diferencias finitas. A continuación, muestra cómo trazar un plano tangente a un punto de la superficie utilizando estos gradientes aproximados.Crea la función f(x,y)=x2+y2 utilizando un manejador de funciones.f = @(x,y) x.^2 + y.^2;Aproxima las derivadas parciales de f(x,y) con respecto a x e y utilizando la función gradiente. Elige una longitud de diferencia finita que sea igual al tamaño de la malla.[xx,yy] = meshgrid(-5:0.25:5);
z=f(x0,y0)+∂f(x0,y0)∂x(x-x0)+∂f(x0,y0)∂y(y-y0).Las matrices fx y fy son aproximaciones a las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f∂y. El punto de interés en este ejemplo, donde el plano tangente se encuentra con la superficie funcional, es (x0,y0) = (1,2). El valor de la función en este punto de interés es f(1,2) = 5.Para aproximar el plano tangente z es necesario encontrar el valor de las derivadas en el punto de interés. Obtén el índice de ese punto, y encuentra las derivadas aproximadas allí.x0 = 1;
Calculadora de la ecuación del plano tangente a la superficie paramétrica
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Anteriormente vimos cómo las dos derivadas parciales \({f_x}\) y \({f_y}\) pueden ser consideradas como las pendientes de las trazas. En esta sección queremos ampliar un poco esta idea. La gráfica de una función (z = f_izquierda( {x,y} derecha) es una superficie en el espacio tridimensional, por lo que podemos empezar a pensar en el plano que es “tangente” a la superficie como un punto.
Empecemos con un punto \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\ y dejemos que \({C_1}) represente la traza a \left( {x,y} \right)\ para el plano \ y = {y_0}) (es decir (es decir, permitiendo que \Nx varíe con \Ny se mantenga fijo) y dejaremos que \N({C_2}) represente la traza de \N(f\left( {x,y} \right)\N para el plano \N(x = {x_0}) (es decir, permitiendo que \Ny varíe con \Nx) se mantenga fijo). Ahora bien, sabemos que \({f_x}izquierda( {{x_0},{y_0}} derecha)\Nes la pendiente de la recta tangente a la traza \N({C_1}) y \N({f_y}izquierda( {{x_0},{y_0} derecha)\Nes la pendiente de la recta tangente a la traza \N({C_2}). Así pues, sea \N({L_1}\Nla recta tangente a la traza \N({C_1}\N) y sea \N({L_2}\Nla recta tangente a la traza \N({C_2}\N).
Encuentra una ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado
La recta tangente a la curva \(y=f(x)\Nen el punto \(\big(x_0,f(x_0)\Nbig)\Nes la recta que mejor se ajusta a la curva 1 en ese punto. Encontrar rectas tangentes fue probablemente una de las primeras aplicaciones de las derivadas que viste. Véase, por ejemplo, el Teorema 2.3.2 en el texto de CLP-1. El análogo de la recta tangente en una dimensión superior es el plano tangente. El plano tangente a una superficie \(S\) en un punto \((x_0,y_0,z_0)\) es el plano que mejor se ajusta a \(S\) en \((x_0,y_0,z_0)\text{.}) Por ejemplo, el plano tangente a la semiesfera
Vamos a determinar ahora, como primera aplicación de las derivadas parciales, el plano de tangencia a una superficie general \(S\) en un punto general \((x_0,y_0,z_0)\Nsituado en la superficie. También determinaremos la recta que pasa por \((x_0,y_0,z_0)\Ny cuya dirección es perpendicular a \N(S\) en \N(x_0,y_0,z_0)\Ntexto. Se llama la línea normal a \(S\) en \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\}
Ya tenemos un punto que se encuentra tanto en el plano tangente de interés y la línea normal de interés – a saber, \(\big(x_0,y_0,z_0\big)\text{.}\} Además podemos utilizar cualquier vector (no nulo) que sea perpendicular a \(S\) en \((x_0,y_0,z_0)\) como vector normal al plano tangente y como vector de dirección de la línea normal.