Ecuación diferencial de Chebyshev
Este artículo incluye una lista de referencias, lecturas relacionadas o enlaces externos, pero sus fuentes no están claras porque carece de citas en línea. Por favor, ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. (Enero de 2013) (Aprende cómo y cuándo eliminar este mensaje de la plantilla)
donde los números λ y μ pueden ser complejos, y se denominan grado y orden de la función correspondiente, respectivamente. Las soluciones polinómicas cuando λ es un número entero (denotado n), y μ = 0 son los polinomios de Legendre Pn; y cuando
λ es un número entero (denotado n), y μ = m es también un número entero con |m| < n son los polinomios de Legendre asociados. Todos los demás casos de λ y μ pueden discutirse como uno solo, y las soluciones se escriben Pμλ, Qμλ. Si μ = 0, se omite el superíndice y se escribe simplemente Pλ, Qλ. Sin embargo, la solución Qλ cuando λ es un número entero suele discutirse por separado como función de Legendre del segundo tipo, y se denota Qn.
Se trata de una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1, -1 y ∞). Como todas las ecuaciones de este tipo, puede convertirse en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable, y sus soluciones pueden expresarse utilizando funciones hipergeométricas.
Ecuación diferencial de Bessel
En ciencias físicas y matemáticas, los polinomios de Legendre (llamados así por Adrien-Marie Legendre, que los descubrió en 1782) son un sistema de polinomios completos y ortogonales, con un gran número de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Pueden definirse de muchas maneras, y las distintas definiciones destacan diferentes aspectos, además de sugerir generalizaciones y conexiones con diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.
. Finalmente, al definirlos mediante la ortogonalidad con respecto a la función de peso más obvia en un intervalo finito, establece los polinomios de Legendre como uno de los tres sistemas clásicos de polinomios ortogonales. Los otros dos son los polinomios de Laguerre, que son ortogonales sobre la semirrecta
Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en x = ±1, por lo que si se busca una solución utilizando el método estándar de Frobenius o de series de potencias, una serie sobre el origen sólo convergerá para |x| < 1 en general. Cuando n es un número entero, la solución Pn(x) que es regular en x = 1 es también regular en x = -1, y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad y la completitud de estas soluciones se ven mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville. Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valores propios,
Ecuación diferencial de Hermite
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donde los números λ y μ pueden ser complejos, y se denominan grado y orden de la función correspondiente, respectivamente. Las soluciones polinómicas cuando λ es un número entero (denotado n), y μ = 0 son los polinomios de Legendre Pn; y cuando
λ es un número entero (denotado n), y μ = m es también un número entero con |m| < n son los polinomios de Legendre asociados. Todos los demás casos de λ y μ pueden discutirse como uno solo, y las soluciones se escriben Pμλ, Qμλ. Si μ = 0, se omite el superíndice y se escribe simplemente Pλ, Qλ. Sin embargo, la solución Qλ cuando λ es un número entero suele discutirse por separado como función de Legendre del segundo tipo, y se denota Qn.
Se trata de una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1, -1 y ∞). Como todas las ecuaciones de este tipo, puede convertirse en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable, y sus soluciones pueden expresarse utilizando funciones hipergeométricas.
Funciones de Legendre del primer tipo
Su principal obra es Exercices de Calcul Intégral, publicada en tres volúmenes en 1811, 1817 y 1819, donde introdujo las propiedades básicas de las integrales elípticas, las funciones beta y las funciones gamma, junto con sus aplicaciones a la mecánica.
Esta ecuación tiene dos puntos singulares regulares x = ±1 donde el coeficiente principal (1 – x²) desaparece. Al añadir las condiciones de contorno y reescribir la ecuación en forma autoadjunta, obtenemos el problema de Sturm–Liouville
La ecuación de Legendre.1 tiene dos soluciones lineales independientes, una de las cuales debe ser no acotada en los extremos. Resulta que la ecuación de Legendre tiene una solución acotada sólo cuando λ = n(n + 1) para algún número entero no cero n ∈ ℤ+. Dicho valor del parámetro λ se denomina valor propio y la correspondiente función propia (acotada) se conoce como polinomio de Legendre, denotado como Pn(x). Cualquier solución acotada de la ecuación de Legendre es un múltiplo constante de Pn(x).
Para hacernos una idea de cómo son estos polinomios, construimos las gráficas de los 7 primeros. Primero definimos una función legraph[n] que produce una gráfica del polinomio kth, y luego usamos un bucle Do para construir las primeras 7 gráficas.