Ecuación implícita de un plano que contiene tres puntos
Si quieres recortar una curva 1D del espacio 3D, necesitas un sistema de dos ecuaciones, en el caso general. Y para una línea 1D, debe ser un sistema de ecuaciones lineales, y por supuesto, no deben ser inconsistentes ni estar mal especificadas. Si empiezas con tres grados de libertad, quitas dos y te queda uno. Un espacio con un grado de libertad es una curva. Una línea, si las ecuaciones son lineales.
Así que no hay manera de cortar una línea del espacio 3D con una sola ecuación lineal. Pero las ecuaciones paramétricas no imponen relaciones en las coordenadas. No eliminan grados de libertad. En cambio, toman algunos grados de libertad y los mapean en espacios más grandes. Los parámetros siguen variando de forma independiente. Así que con las ecuaciones paramétricas, no se resta un grado de libertad por cada ecuación. En su lugar, se añade un grado de libertad para cada parámetro. Y para una ecuación parametrizada como $P=P_0+tv,$ sólo hay un parámetro. Así que es una línea, y esto funciona en un espacio afín de cualquier dimensión. En particular, también se puede representar la ecuación de una línea en el plano de esta manera.
Hallar la ecuación de una recta en 3D que pasa por dos puntos
En el applet de abajo, las líneas pueden ser arrastradas como un todo o con uno de los dos puntos de definición. Cuando se arrastra una línea o se hace clic sobre ella, se muestra una de sus ecuaciones justo debajo de la gráfica. Con la casilla Reducir marcada, la ecuación aparece en su forma más simple. El applet puede mostrar varias líneas simultáneamente. Para obtener líneas adicionales, marque la casilla Duplicar y comience a arrastrar una de las líneas ya presentes hasta la posición deseada. De hecho, estará arrastrando una copia recién creada de esa línea.
A continuación doy varias formas de la ecuación de una recta en función de los atributos con los que está definida. En todos los casos, la comprobación es sencilla. Introduce los datos y comprueba que satisfacen la ecuación. Todas las ecuaciones que aparecen a continuación están derivadas en el sistema de coordenadas cartesianas habitual.
Los coeficientes A y B en la ecuación general son las componentes del vector n = (A, B) normal a la recta. El par r = (x, y) puede considerarse de dos maneras: como un punto o como un radio-vector que une el origen con ese punto. Esta última interpretación muestra que una recta es el lugar de los puntos r con la propiedad
Cómo encontrar la ecuación de un plano dado un
Ya estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una recta, debemos conocer dos puntos de la misma, o bien conocer la dirección de la recta y al menos un punto por el que pasa la recta. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación o dirección de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección examinaremos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.
Exploremos primero lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores no nulos, \( \vecs{u}\) y \( \vecs{v}\), son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, \( k\), tal que \( \vecs{u}=kvecs{v}\). Si \( \vecs{u}\) y \( \vecs{v}\) tienen la misma dirección, basta con elegir
Obsérvese que lo contrario también es válido. Si \( \vecs{u}=k \vecs{v}\) para algún escalar \( k\), entonces o bien \( \vecs{u}\) y \(\vecs{v}\) tienen la misma dirección \( (k>0)\N o direcciones opuestas \( (k<0)\N, por lo que \( \vecs{u}\N) y \\Nvecs{v}\Nson paralelos. Por lo tanto, dos vectores no nulos \( \vecs{u}\) y \(\vecs{v}\) son paralelos si y sólo si \( \vecs{u}=k\vecs{v}\) para algún escalar \( k\). Por convención, se considera que el vector cero \( \vecs{0}\) es paralelo a todos los vectores.
Utiliza la diferenciación implícita para encontrar la ecuación de la tangente
En matemáticas, una ecuación implícita es una relación de la forma R(x1, …, xn) = 0, donde R es una función de varias variables (a menudo un polinomio). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es x2 + y2 – 1 = 0.
Una función implícita es una función definida por una ecuación implícita, que relaciona una de las variables, considerada como el valor de la función, con las otras consideradas como los argumentos.[1]: 204-206 Por ejemplo, la ecuación x2 + y2 – 1 = 0 del círculo unitario define y como una función implícita de x si -1 ≤ x ≤ 1, y se restringe y a valores no negativos.
El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de relaciones definen una función implícita, a saber, relaciones definidas como la función indicadora del conjunto cero de alguna función multivariable continuamente diferenciable.
Un tipo común de función implícita es la función inversa. No todas las funciones tienen una única función inversa. Si g es una función de x que tiene una única inversa, entonces la función inversa de g, llamada g-1, es la única función que da solución a la ecuación