La gráfica de una función f pasa por el punto (ln4, 20).
En geometría, la recta tangente (o simplemente tangente) a una curva plana en un punto determinado es la recta que “justo toca” la curva en ese punto. Leibniz la definió como la recta que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos de la curva[1]. Más precisamente, se dice que una recta es tangente a una curva y = f(x) en un punto x = c si la recta pasa por el punto (c, f(c)) de la curva y tiene pendiente f'(c), donde f’ es la derivada de f. Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas del espacio euclidiano de n dimensiones.
Al pasar por el punto de encuentro entre la recta tangente y la curva, llamado punto de tangencia, la recta tangente “va en la misma dirección” que la curva y, por tanto, es la mejor aproximación rectilínea a la curva en ese punto.
La recta tangente a un punto de una curva diferenciable también puede considerarse como una aproximación de la recta tangente, la gráfica de la función afín que mejor se aproxima a la función original en el punto dado[2].
Del mismo modo, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que “sólo toca” la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales de la geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; véase Espacio tangente.
Teorema de la tangente
En la geometría del plano euclidiano, una línea tangente a una circunferencia es una línea que toca la circunferencia exactamente en un punto y nunca entra en el interior de la misma. Las rectas tangentes a las circunferencias son objeto de varios teoremas y desempeñan un papel importante en muchas construcciones y pruebas geométricas. Dado que la recta tangente a una circunferencia en un punto P es perpendicular al radio hasta ese punto, los teoremas sobre las rectas tangentes suelen referirse a rectas radiales y circunferencias ortogonales.
Una recta tangente t a una circunferencia C interseca la circunferencia en un único punto T. Por comparación, las rectas secantes intersecan una circunferencia en dos puntos, mientras que otra recta puede no intersecar una circunferencia en absoluto. Esta propiedad de las rectas tangentes se mantiene bajo muchas transformaciones geométricas, como escalas, rotaciones, traslaciones, inversiones y proyecciones de mapas. En lenguaje técnico, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de la línea tangente y el círculo, aunque la línea y el círculo se deformen.
El radio de un círculo es perpendicular a la recta tangente por su punto final en la circunferencia del círculo. A la inversa, la perpendicular a un radio que pasa por el mismo punto final es una recta tangente. La figura geométrica resultante del círculo y la línea tangente tiene una simetría de reflexión en torno al eje del radio.
Sea f(x ax 2 4x – c una recta horizontal)
La parte final de esta pregunta no fue bien contestada. La mayoría de los candidatos podían obtener 4 puntos en esta pregunta, ya que la mayoría sabía cómo diferenciar y se les pedía que lo hicieran dos veces. Sin embargo, pocos se dieron cuenta de que podían encontrar el gradiente de la tangente a partir de su respuesta a la parte (a). La mayoría de los candidatos respondieron mal a esta parte.
La parte final de esta pregunta no fue bien contestada. La mayoría de los candidatos podían obtener 4 puntos en esta pregunta, ya que la mayoría sabía cómo diferenciar y se les pedía que lo hicieran dos veces. Sin embargo, pocos se dieron cuenta de que podían encontrar el gradiente de la tangente a partir de su respuesta a la parte (a). La mayoría de los candidatos respondieron mal a esta parte.
La parte final de esta pregunta no fue bien contestada. La mayoría de los candidatos podían obtener 4 puntos en esta pregunta, ya que la mayoría sabía cómo diferenciar y se les pedía que lo hicieran dos veces. Sin embargo, pocos se dieron cuenta de que podían encontrar el gradiente de la tangente a partir de su respuesta a la parte (a). La mayoría de los candidatos respondieron mal a esta parte.
La gráfica de f cruza el eje y en el punto p. la recta l es tangente a la gráfica de f en p.
Vamos a intentar utilizar estos conocimientos para encontrar la tangente de una circunferencia en los tres ejemplos siguientes. En el primer ejemplo, encontraremos el valor de una recta tangente dada la longitud de una recta tangente equivalente. En el segundo ejemplo, encontraremos la longitud de la recta que va desde el centro de la circunferencia hasta el punto de intersección de las rectas tangentes. Por último, en el tercer ejemplo encontraremos las longitudes de los catetos dados el radio y la hipotenusa.
Paso 1: Determinar qué longitud falta. Examinando la figura, se pueden identificar dos triángulos: el triángulo ABD y el triángulo ACD. Según el teorema de las dos tangentes, estos triángulos tienen las mismas longitudes. Nos dicen que falta AD, así que eso es lo que buscamos.
Paso 2: Encontrar la longitud que falta. Para encontrar AD, aplicaremos el Teorema de Pitágoras al triángulo ACD. En este triángulo, AC y CD son los catetos, por lo que AD es la hipotenusa. Entonces, evaluamos c en el Teorema de Pitágoras:
Paso 1: Determinar qué longitudes faltan. En esta ocasión, nos faltan dos longitudes, AB y CD. El teorema de las dos tangentes confirma que AB = AC y CD = BD y que los triángulos ABD y ACD son congruentes. Por tanto, tenemos que encontrar las longitudes de los catetos.