Ecuación paramétrica de una línea
Una ecuación vectorial es una ecuación que implica una combinación lineal de vectores con coeficientes posiblemente desconocidos.Preguntar si una ecuación vectorial tiene o no solución es lo mismo que preguntar si un vector dado es una combinación lineal de algunos otros vectores dados.Por ejemplo la ecuación vectorial de arriba es preguntar si el vector (
Lo que realmente nos interesa es resolver sistemas de ecuaciones lineales, no resolver ecuaciones vectoriales. El objetivo de las ecuaciones vectoriales es que nos dan una forma diferente, y más geométrica, de ver los sistemas de ecuaciones lineales.
Podemos visualizar la última afirmación geométricamente. Por lo tanto, la siguiente figura ofrece una imagen de un sistema de ecuaciones coherente. Compárese con la figura siguiente, que muestra una imagen de un sistema incoherente.
y la reducción de filas. Nótese que las columnas de la matriz aumentada son los vectores de la ecuación vectorial original, por lo que no es necesario escribir el sistema de ecuaciones: se puede pasar directamente de la ecuación vectorial a la matriz aumentada “juntando los vectores”. En el siguiente ejemplo realizamos la reducción de filas y encontramos la solución.
Convertir un vector en una ecuación lineal
Las ecuaciones vectoriales se utilizan para representar la ecuación de una recta o un plano con la ayuda de las variables x, y, z. La ecuación vectorial define la ubicación de la recta o el plano en el marco tridimensional. La ecuación vectorial de una recta es r = a + λb, y la ecuación vectorial de un plano es r.n = d.
Las ecuaciones vectoriales se utilizan para representar las líneas o los planos en un marco tridimensional. El plano tridimensional requiere tres coordenadas con respecto al triple eje y aquí los vectores son útiles para representar fácilmente la ecuación vectorial de una línea o un plano. En un marco tridimensional el vector unitario a lo largo del eje x es \(\hat i \), el vector unitario a lo largo del eje y es \(\hat j\), y el vector unitario a lo largo del eje z es \(\hat k\). Las ecuaciones vectoriales se escriben con \(\hat i\), \(\hat j\), \(\hat k\) y se pueden representar geométricamente en el plano tridimensional. La forma más sencilla de ecuación vectorial de una recta es \(\vec r = \vec a + λ\vec b\) y la ecuación vectorial de un plano es \(\overrightarrow r. \hat n\) = d.
Cómo encontrar la ecuación vectorial de una línea
Misc 19 (Método 1) Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1, 2, 3) y es paralela a los planos ⃗ . ( ̂ – ̂ + 2 ̂) = 5 y ⃗ . (3 ̂ + ̂ + ̂) = 6 . La ecuación vectorial de una recta que pasa por un punto con vector de posición ⃗ y paralelo a un vector ⃗ es
Misc 19 (Método 2) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1, 2, 3) y es paralela a los planos ⃗ . ( ̂ – ̂ + 2 ̂) = 5 y ⃗ . (3 ̂ + ̂ + ̂) = 6 . La ecuación vectorial de una recta que pasa por un punto con vector de posición ⃗ y paralelo a un vector ⃗ es
Vector entre dos puntos
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección tenemos que echar un vistazo a la ecuación de una línea en \ ({\mathbb{R}^3}\). Como vimos en la sección anterior la ecuación \ (y = mx + b\) no describe una línea en \({\mathbb{R}^3}), en su lugar describe un plano. Sin embargo, esto no significa que no podamos escribir una ecuación para una recta en el espacio tridimensional. Sólo vamos a necesitar una nueva forma de escribir la ecuación de una curva.
Así que, antes de entrar en las ecuaciones de las rectas, tenemos que ver brevemente las funciones vectoriales. Más adelante profundizaremos en las funciones vectoriales. En este punto, lo único que nos debe preocupar son las cuestiones notacionales y cómo se pueden utilizar para dar la ecuación de una curva.