Parábola asimétrica
Forma estándar vs. Forma de vérticePara convertir de la forma estándar a la forma de vértice utiliza un método llamado completar el cuadrado. Este proceso crea un trinomio cuadrado perfecto para encontrar la coordenada x del vértice y luego ajusta el resto de la ecuación para asegurar que el valor no cambie. Pasos para completar el cuadrado1) Si {eq}a \neq 1 {/eq}, factoriza el valor a y ajusta la ecuación. 2) Identifique el valor b y sustitúyalo en la fórmula {eq}(\frac{b}{2})^2. {/eq} Esto proporciona el valor para crear un trinomio cuadrado perfecto y equilibrar la ecuación. 3) Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y combinar los términos semejantes 4) Redistribuir el valor de a según sea necesario para crear la forma de vértice. Ejemplo: {eq}f(x) = 2x^2 -4x -6 {/eq} 1) {eq}f(x) = 2(x^2 -2x -3) {/eq} 2) {eq}(\frac{b}{2})^2 = (\frac{-2}{2})^2 = 1 {/eq} 3) Al mirar la parábola original, el valor encontrado en el paso dos será colocado antes y después del valor c. La primera colocación es para crear el trinomio cuadrado perfecto, la segunda colocación tendrá el signo contrario para equilibrar la ecuación. {eq}f(x) = 2(x^2 – 2x +1 -3 -1) {/eq} 4) La factorización del trinomio cuadrado perfecto {eq}x^2 -2x+1 {/eq} se convertirá en {eq}(x-1)^2 {/eq}. Otra forma de hacerlo es crear {eq}(x – \frac{b}{2}) ^2 {/eq}. A continuación, la combinación de los términos similares de -3 -1 = -4. Todos juntos la ecuación ahora se ve como: {eq}f(x) = 2[(x-1)^2 -4] {/eq} 5) Redistribuyendo el valor a se obtiene la forma exacta del vértice de: {eq}f(x) = 2(x-1)^2 -8 {/eq} una función con vértice (1,-8)
Dibujar parábola
Podemos trasladar la parábola verticalmente para producir una nueva parábola que es similar a la parábola básica. La función \(y=x^2+b\) tiene una gráfica que simplemente se parece a la parábola estándar con el vértice desplazado \(b\) unidades a lo largo del eje \(y\). Por lo tanto, el vértice se encuentra en \((0,b)\N-). Si \(b\) es positivo, la parábola se mueve hacia arriba y, si \(b\) es negativo, se mueve hacia abajo.
Del mismo modo, podemos trasladar la parábola horizontalmente. La función \(y=(x-a)^2\) tiene una gráfica que se parece a la parábola estándar con el vértice desplazado \(a\) unidades a lo largo del eje \(x\). El vértice se encuentra entonces en \((a,0)\Nla parábola.) Observa que, si \(a\) es positivo, nos desplazamos a la derecha y, si \(a\) es negativo, nos desplazamos a la izquierda.
En el módulo Repaso de álgebra , revisamos la importantísima técnica de completar el cuadrado. Este método se puede aplicar ahora a las cuadráticas de la forma \(y=x^2+qx+r\), que son congruentes con la parábola básica, para encontrar su vértice y dibujarlas rápidamente.
Por supuesto, podemos encontrar el vértice de una parábola utilizando el cálculo, ya que la derivada será cero en la coordenada \(x\) del vértice. Sin embargo, hay que encontrar la coordenada \ (y), por lo que completar el cuadrado suele ser mucho más rápido.
Explicación de la parábola
La gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables (y = ax2 + bx + c ) se llama parábola. Las siguientes gráficas son dos parábolas típicas: sus intersecciones x están marcadas con puntos rojos, sus intersecciones y están marcadas con un punto rosa y el vértice de cada parábola está marcado con un punto verde:
Decimos que la primera parábola se abre hacia arriba (es una forma de U) y la segunda se abre hacia abajo (es una forma de U invertida). Para graficar una parábola necesitamos encontrar sus interceptos, su vértice y hacia dónde se abre.
Fíjate en que los interceptos x de cualquier gráfica son puntos sobre el eje x y, por tanto, tienen coordenada y 0. Podemos encontrar estos puntos sustituyendo y por 0 y resolviendo la ecuación cuadrática resultante (0 = ax2 + bx + c). Si la ecuación es factorial podemos encontrar los puntos fácilmente, pero puede que tengamos que utilizar la fórmula cuadrática en algunos casos. Si las soluciones son imaginarias, significa que la parábola no tiene intersecciones en x (está estrictamente por encima o por debajo del eje x y nunca lo cruza). Si las soluciones son reales, pero irracionales (radicales), entonces tenemos que aproximar sus valores y graficarlos.
Curvatura de la parábola
Una parábola es la gráfica de una función cuadrática. Pascal afirmó que una parábola es una proyección de un círculo. Galileo explicó que los proyectiles que caen bajo el efecto de la gravedad uniforme siguen una trayectoria llamada parábola. Muchos movimientos físicos de los cuerpos siguen una trayectoria curvilínea que tiene forma de parábola. En matemáticas, se llama parábola a cualquier curva plana que es simétrica a un espejo y que suele tener una forma aproximada de U. Aquí trataremos de entender la derivación de la fórmula estándar de una parábola, las diferentes formas estándar de una parábola y las propiedades de una parábola.
Una parábola se refiere a la ecuación de una curva, tal que un punto de la curva es equidistante de un punto fijo, y una línea fija. El punto fijo se llama foco de la parábola, y la recta fija se llama directriz de la parábola. Además, un punto importante a tener en cuenta es que el punto fijo no se encuentra en la recta fija. El lugar geométrico de cualquier punto que equidista de un punto dado (foco) y de una recta dada (directriz) se llama parábola. La parábola es una curva importante de las secciones cónicas de la geometría de coordenadas.