Ecuación general de la forma cónica de un círculo
En matemáticas, una sección cónica (o simplemente cónica) es una curva obtenida como intersección de la superficie de un cono con un plano. Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola, la parábola y la elipse; el círculo es un caso especial de la elipse, aunque históricamente se le ha llamado a veces un cuarto tipo. Los antiguos matemáticos griegos estudiaron las secciones cónicas, culminando hacia el año 200 a.C. con el trabajo sistemático de Apolonio de Perga sobre sus propiedades.
Las secciones cónicas en el plano de Euclides tienen varias propiedades distintivas, muchas de las cuales pueden utilizarse como definiciones alternativas. Una de estas propiedades define una cónica no circular[1] como el conjunto de aquellos puntos cuyas distancias a algún punto concreto, llamado foco, y a alguna recta concreta, llamada directriz, están en una relación fija, llamada excentricidad. El tipo de cónica viene determinado por el valor de la excentricidad. En geometría analítica, una cónica puede definirse como una curva algebraica plana de grado 2; es decir, como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática en dos variables, que puede escribirse en forma de matriz. Esta ecuación permite deducir y expresar algebraicamente las propiedades geométricas de las secciones cónicas.
Fórmula de la sección cónica de la elipse
La representación matricial de las secciones cónicas es una forma de estudiar una sección cónica, sus ejes, vértices, focos, tangentes y la posición relativa de un punto determinado. También podemos estudiar secciones cónicas cuyos ejes no son paralelos a nuestro sistema de coordenadas.
La ecuación reducida de una sección cónica es la ecuación de una sección cónica trasladada y girada de forma que su centro esté en el centro del sistema de coordenadas y sus ejes sean paralelos a los ejes de coordenadas. Esto equivale a decir que las coordenadas se desplazan para satisfacer estas propiedades. Véase la figura.
Forma canónica de la elipse
Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos, y se consideraban un concepto matemático importante. Ya en el año 320 a.C., matemáticos griegos como Menaechmus, Apolonio y Arquímedes estaban fascinados por estas curvas. Apolonio escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre las secciones cónicas en el que, por ejemplo, fue capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antenas parabólicas e incluso en arquitectura. En esta sección se analizan las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones.
Las secciones cónicas reciben su nombre porque pueden generarse al intersecar un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica llamadas napas. Una de las capas es lo que la mayoría de la gente entiende por “cono” y tiene la forma de un sombrero de fiesta. Un cono circular recto puede generarse girando una línea que pasa por el origen alrededor del eje y, como se muestra.
Círculo de secciones cónicas
Si el cono circular recto es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es un círculo. Si el plano corta una de las piezas del cono y su eje pero no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una parábola, el plano de intersección debe ser paralelo a uno de los lados del cono y debe intersecar una pieza del doble cono. Y por último, para generar una hipérbola el plano interseca ambas piezas del cono. Para ello, la pendiente del plano de intersección debe ser mayor que la del cono.
A medida que cambiamos los valores de algunas de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiará. Es importante conocer las diferencias de las ecuaciones para ayudar a identificar rápidamente el tipo de cónica que representa una determinada ecuación.
. Geométricamente da el punto o puntos de intersección de dos o más rectas. De manera similar, las soluciones del sistema de ecuaciones cuadráticas darían los puntos de intersección de dos o más cónicas.