Problemas de ecuaciones simultáneas
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Antes de hablar de cómo resolver sistemas, deberíamos hablar de lo que es una solución de un sistema de ecuaciones. Una solución de un sistema de ecuaciones es un valor de \(x\) y un valor de \(y\) que, cuando se sustituye en las ecuaciones, satisface ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Nótese que es importante que el par de números satisfaga ambas ecuaciones. Por ejemplo, \(x = 1\) y \(y = – 4\) satisfará la primera ecuación, pero no la segunda y por lo tanto no es una solución del sistema. Del mismo modo, \(x = – 1\) y \(y = 1\) satisfará la segunda ecuación, pero no la primera y por lo tanto no puede ser una solución del sistema.
Ejercicio de ecuaciones simultáneas
En Resolución de ecuaciones lineales aprendimos a resolver ecuaciones lineales con una variable. Ahora trabajaremos con dos o más ecuaciones lineales agrupadas, lo que se conoce como sistema de ecuaciones lineales.
Una ecuación lineal en dos variables, como \(2x+y=7\), tiene un número infinito de soluciones. Su gráfica es una recta. Recuerda que cada punto de la recta es una solución de la ecuación y que cada solución de la ecuación es un punto de la recta.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de ambas ecuaciones. En otras palabras, buscamos los pares ordenados \((x,y)\Nque hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Son las soluciones de un sistema de ecuaciones.
Para determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de dos ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, es una solución del sistema.
La gráfica de una ecuación lineal es una recta. Cada punto de la recta es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones, graficaremos dos rectas. Así podremos ver todos los puntos que son soluciones de cada ecuación. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
Resolver una ecuación con múltiples variables
Multi-Variables y Multi-Pasos¿Has lidiado alguna vez con una ecuación que tiene más de una variable? Si es así, no has podido resolverla sin tener otras ecuaciones con esas variables. Esto es lo que se entiende por resolver una ecuación de varios pasos con múltiples variables. Hay una regla básica a seguir cuando se trata de estas ecuaciones con múltiples variables. La cantidad de variables diferentes en la ecuación es la cantidad de ecuaciones que necesitas con esas variables en ellas. Por ejemplo, si tienes x + y = 1, tienes dos variables diferentes, x e y. Esto significa que necesitamos dos ecuaciones diferentes que contengan x e y. Como ya tenemos una, necesitamos una más para determinar x e y. Pongamos manos a la obra y veamos cómo resolver este tipo de problemas a través de algunos ejemplos.
Solución: Vamos a ver dos formas de resolver este sistema de ecuaciones. Método 1Resolveremos la primera ecuación para x. Luego enchufaremos ese valor en la x de la segunda ecuación y resolveremos para y. Luego enchufaremos y en la primera ecuación para determinar x. Paso 1: Resuelve para x en la ecuación 1. Paso 2: Introduce este valor en la ecuación 2. Paso 3: Resuelve la ecuación del paso 2 para y. Paso 4: Introduce 9 para y en la primera ecuación y resuelve para x. Paso 5: Introduce estos valores para x e y de nuevo en cualquiera de las ecuaciones para comprobar que las respuestas son válidas. ¡Bingo! Nuestras respuestas son correctas. Resolvamos las mismas dos ecuaciones utilizando un método diferente. Método 2Esta vez, vamos a sumar ambas ecuaciones, pero para que esto sirva de algo, necesitamos que una de las variables desaparezca. Fíjate en que ambas ecuaciones tienen x. Si multiplicamos la ecuación superior por -1, x desaparecerá al sumar las dos ecuaciones. Ahora sumaremos estas ecuaciones, lo que da como resultado:
Una ecuación dos incógnitas
En el apartado anterior, hemos encontrado varias soluciones a la ecuación . Se enumeran en la (Figura). Por tanto, los pares ordenados , , y son algunas soluciones de la ecuación . Podemos representar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la (Figura).
¿Notas cómo los puntos se alinean perfectamente? Conectamos los puntos con una recta para obtener la gráfica de la ecuación . Observa la (Figura). Observa las flechas en los extremos de cada lado de la recta. Estas flechas indican que la recta continúa.
Por tanto, no es una solución de la ecuación . Por lo tanto, el punto no está en la recta. Ver (Figura). Este es un ejemplo del dicho “Una imagen vale más que mil palabras”. La recta te muestra todas las soluciones de la ecuación. Cada punto de la recta es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta recta. Esta recta se llama la gráfica de la ecuación .
Es cierto que sólo se necesitan dos puntos para determinar una recta, pero es una buena costumbre utilizar tres puntos. Si sólo trazas dos puntos y uno de ellos es incorrecto, puedes seguir dibujando una recta, pero no representará la solución de la ecuación. Será una recta incorrecta.