Función exponencial compleja
Un número complejo puede representarse visualmente como un par de números (a, b) que forman un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand, que representa el plano complejo. Re es el eje real, Im es el eje imaginario, e i es la “unidad imaginaria”, que satisface i2 = -1.
En matemáticas, un número complejo es un elemento de un sistema numérico que contiene los números reales y un elemento específico denominado i, llamado unidad imaginaria, y que satisface la ecuación i2 = -1. Además, todo número complejo puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales. Dado que ningún número real satisface la ecuación anterior, René Descartes llamó a i número imaginario. Para el número complejo a + bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se denota por cualquiera de los símbolos
o C. A pesar de la nomenclatura histórica “imaginario”, los números complejos se consideran en las ciencias matemáticas tan “reales” como los números reales y son fundamentales en muchos aspectos de la descripción científica del mundo natural[1][a].
Resolver una ecuación compleja
Hemos estudiado la suma, la resta y la multiplicación. Ahora es el momento de la división. Al igual que la resta se puede componer a partir de la suma y la negación, la división se puede componer a partir de la multiplicación y la reciprocidad. Así que nos planteamos el problema de encontrar 1/z dado z. En otras palabras, dado un número complejo z = x + yi, encontrar otro número complejo w = u + vi tal que zw = 1. A estas alturas, podemos hacerlo tanto algebraicamente como geométricamente. Primero, algebraicamente. Utilizaremos la fórmula del producto que desarrollamos en la sección sobre la multiplicación. Decía
Ahora, en nuestro caso, z estaba dada y w era desconocida, así que en estas dos ecuaciones x e y están dadas, y u y v son las incógnitas a resolver. Puedes resolver fácilmente u y v en este par de ecuaciones lineales simultáneas. Cuando lo hagas, encontrarás
Puedes ver en el diagrama otro punto etiquetado con una barra sobre z. Se llama el conjugado complejo de z. Tiene la misma componente real x, pero la componente imaginaria está negada. La conjugación compleja niega la componente imaginaria, por lo que como transformación del plano C todos los puntos se reflejan en el eje real (es decir, se intercambian los puntos por encima y por debajo del eje real). Por supuesto, los puntos del eje real no cambian porque el conjugado complejo de un número real es él mismo.
Ecuaciones complejas
El módulo de un número complejo es la distancia del número complejo al origen en el plano argéntico. Si z = x + iy es un número complejo donde x e y son reales e i = √-1, entonces el valor no negativo √(x2 + y2) se llama módulo del número complejo (z = x + iy). El módulo de un número complejo también se llama valor absoluto del número complejo.
El módulo de un número complejo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Si z es un número complejo, entonces el módulo del número complejo z viene dado por, √{[Re(z)]2 + [Im(z)]2} y se denota por |z|. El módulo del número complejo z = a + ib es la distancia entre el origen (0, 0) y el punto (a, b) en el plano complejo. Como el módulo de un número complejo es la distancia, su valor es siempre no negativo.
El módulo de un número complejo z = x + iy, denotado por |z|, viene dado por la fórmula |z| = √(x2 + y2), donde x es la parte real e y es la parte imaginaria del número complejo z. El módulo del número complejo z también se puede calcular utilizando el conjugado de z. Dado que \(z.\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2\), tenemos que \(z.\bar{z} = |z|^2\) ⇒ \(|z| = \sqrt{z.\bar{z}}).
Resolver ecuaciones con números complejos
Pregunta 1 :Encuentra dos números complejos z que satisfagan la ecuación z2 + 4z + 6 = 0.Solución :z2 + 4z + 6 = 0Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática. a = 1, b = 4 y c = 6 = [-b ± √(b2 – 4ac)] / 2a = [-4 ± √(42 – 4(1)(6))] / 2(1) = [-4 ± √(16 – 24)] / 2 = [-4 ± √-8] / 2 = 2[-2 ± √2i] / 2 = -2 ± √2iPregunta 2 : Encuentra dos números complejos z que satisfagan la ecuación 2z2 + 4z + 5 = 0. Solución :2z2 + 4z + 5 = 0Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática. a = 2, b = 4 y c = 5 = [-b ± √(b2 – 4ac)] / 2a = [-4 ± √(42 – 4(2)(5))] / 2(2) = [-4 ± √(16 – 40)] / 4 = (-4 ± 2√6) / 4 = 2(-2 ± √6) / 4 = (-2 ± √6)/2Pregunta 3 : Encuentra un número complejo cuyo cuadrado sea igual a5 + 12iSolución : (5 + 12i)2 = 52 + 2(5)(2i) + (2i)2 = 25 + 20i + 4i2 = 25 + 20i – 4 = 21 + 20iCuestión 4 :Halla un número complejo cuyo cuadrado sea igual a21 – 20iSolución :(21 – 20i)2 = 212 + 2(21)(20i) + (20i)2 = 441 + 840i + 400i2 = 441 + 840i – 400 = 41 + 840i