Mes a año
En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En la modelización matemática, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelizará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso del crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:
donde [latex]{A}_{0}[/latex] es igual al valor en el momento cero, e es la constante de Euler, y k es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en aplicaciones que implican el tiempo de duplicación, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como las poblaciones de animales salvajes, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden presentar un crecimiento basado en el tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta a los datos mejor que el modelo exponencial.
Por otro lado, si una cantidad está cayendo rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial. De nuevo, tenemos la forma [latex]y={A}_{0}{e}^{-kt}[/latex] donde [latex]{A}_{0}[/latex] es el valor inicial, y e es la constante de Euler. Ahora k es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la vida media, o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la vida media en aplicaciones que implican isótopos radiactivos.
Ecuación de crecimiento
se utiliza cuando hay una cantidad con un valor inicial, x0, que cambia con el tiempo, t, con una tasa de cambio constante, r. La función exponencial que aparece en la fórmula anterior tiene una base igual a 1 + r/100.
Tenga en cuenta que la tasa de crecimiento exponencial, r, puede ser cualquier número positivo, pero, esta calculadora también funciona como una calculadora de decaimiento exponencial – donde r también representa la tasa de decaimiento, que debe estar entre 0 y -100%. La razón de esto es que no se puede tener una disminución de más del 100% con respecto a la cantidad inicial, ya que resultaría en un valor negativo.
La ecuación de crecimiento exponencial se utiliza en la datación por radiocarbono, la PCR (puede descubrir por qué con nuestra calculadora de temperatura de recocido), así como en el cálculo del interés compuesto. Para saber más, consulte nuestra calculadora de interés compuesto. Para ver más ejemplos de dónde se puede utilizar esta fórmula, consulte a continuación.
Considere el siguiente problema: la población de una pequeña ciudad a principios de 2019 era de 10.000 personas. Se observa que la población de la ciudad crece a un ritmo constante del 5% anual. ¿Qué hay que hacer para calcular el tamaño de la población prevista para el año 2030? A partir de los datos dados, podemos concluir que el valor inicial de la población, x0, es igual a 10.000. Además, tenemos la tasa de crecimiento de r = 5%.
Constante de crecimiento exponencial
Antes de conocer la fórmula del crecimiento exponencial, recordemos primero qué se entiende por crecimiento exponencial. En el crecimiento exponencial, una cantidad aumenta lentamente al principio y luego aumenta rápidamente. La fórmula del crecimiento exponencial se utiliza para calcular el crecimiento de la población, el interés compuesto y el tiempo de duplicación. Entendamos la fórmula de crecimiento exponencial en detalle en la siguiente sección.
El crecimiento exponencial es un patrón de datos que muestra un aumento con el paso del tiempo creando una curva de una función exponencial. Por ejemplo, supongamos que una población de cucarachas aumenta exponencialmente cada año, empezando por 3 en el primer año, luego 9 en el segundo, 729 en el tercero, 387420489 en el cuarto, y así sucesivamente. En este caso, la población crece a la potencia de 3 cada año. La fórmula del crecimiento exponencial, como su nombre indica, implica exponentes. Los modelos de crecimiento exponencial incluyen varias fórmulas. Son las siguientes:
Ejemplo 1: Había 50 peces en un estanque. Al cabo de seis meses habían aumentado a 135. Si los peces crecen exponencialmente, ¿cuántos peces habrá en el estanque al final de un año? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.
Cálculo del factor de crecimiento
La empresa A presenta un crecimiento lineal. En el crecimiento lineal, tenemos una tasa de cambio constante, es decir, un número constante de aumento de la producción por cada aumento de los insumos. Para la empresa A, el número de nuevas tiendas por año es el mismo cada año.
La empresa B es diferente: tenemos una tasa de cambio porcentual en lugar de un número constante de tiendas/año como tasa de cambio. Para ver la importancia de esta diferencia, compare un aumento del 50% cuando hay 100 tiendas con un aumento del 50% cuando hay 1000 tiendas:
Una función de crecimiento o decrecimiento exponencial es una función que crece o decrece a una tasa de crecimiento porcentual constante. La ecuación puede escribirse de la forma \[ f(x)=a(1+r)^x\] o \[ f(x)=ab^x\] donde \( b=1+r \).
Un certificado de depósito (CD) es un tipo de cuenta de ahorro que ofrecen los bancos, y que suele ofrecer un tipo de interés más alto a cambio de un periodo de tiempo fijo en el que dejarás tu dinero invertido. Si un banco ofrece un CD a 24 meses con un tipo de interés anual del 1,2% compuesto mensualmente, ¿a cuánto ascenderá una inversión de 1.000 dólares en esos 24 meses? ¿Cuál es la tasa de rendimiento anual (APY) equivalente?