Cálculo variacional euler–lagrange
En el cálculo de variaciones y la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler-Lagrange[1] son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios del funcional de acción dado. Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange.
Dado que una función diferenciable es estacionaria en sus extremos locales, la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dada alguna función, se busca la función que la minimiza o maximiza. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo, que afirma que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local su derivada es cero.
En la mecánica lagrangiana, según el principio de acción estacionaria de Hamilton, la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones de la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler suelen llamarse ecuaciones de Lagrange. En la mecánica clásica, son equivalentes a las leyes del movimiento de Newton, pero tienen la ventaja de que adoptan la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas, y se adaptan mejor a las generalizaciones. En la teoría clásica de campos existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo.
Euler-lagrange rechner
Digamos que tenemos una acción infinita a lo largo de un tiempo infinito – la acción de una partícula libre para todo el tiempo, por ejemplo. Un punto crítico del funcional de acción no significa nada aquí, pero por supuesto las ecuaciones de Euler Lagrange siguen existiendo para todo el tiempo. Si asociamos las ecuaciones de Euler Lagrange a un sistema hamiltoniano, entonces la trayectoria debería resolver las ecuaciones de Hamilton si se satisfacen las ecuaciones de Euler Lagrange. ¿Podemos decir que éstas siguen ofreciendo una solución a medida que $t \rightarrow \infty$, aunque preguntar por “un punto crítico del funcional de acción” ya no tiene sentido? ¿Hay alguna manera de darle sentido formalmente?
Derivación de la ecuación de euler-lagrange
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Ecuación lagrangiana
En este nuevo trabajo se investiga el movimiento libre de un oscilador acoplado. En primer lugar, se formula una descripción completa del sistema en estudio considerando su lagrangiano clásico, y como resultado, se construyen las ecuaciones de movimiento clásicas de Euler-Lagrange. A partir de este punto, extendemos la Lagrangiana clásica en sentido fraccionario, y así, se derivan las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange fraccionarias. En esta nueva formulación, consideramos un operador fraccionario recientemente introducido con un núcleo no singular de Mittag-Leffler. También presentamos un método numérico eficiente para resolver estas últimas ecuaciones de forma adecuada. Debido a esta nueva y poderosa técnica, somos capaces de obtener notables reflexiones físicas; de hecho, indicamos que el comportamiento complejo de muchos sistemas físicos se demuestra de forma realista a través del modelado del cálculo fraccionario. Por último, presentamos nuestros resultados numéricos para verificar el análisis teórico.
Existen dos enfoques principales en la mecánica clásica para obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico: Newtoniano y Lagrangiano. Sin embargo, en el primer enfoque, que se basa en las fuerzas, nos encontramos con algunas dificultades, ya que hay que establecer todas las fuerzas que actúan y a veces no están claras. El segundo enfoque fue inventado por Joseph Louis Lagrange, un matemático francés. Este enfoque se considera una técnica útil para encontrar las ecuaciones de movimiento para muchos tipos de procesos físicos [1]. Durante la última década, el método lagrangiano se ha utilizado para resolver algunos sistemas interesantes como la máquina de Atwood, los péndulos acoplados y de muelle, y muchos otros.