Ecuación diferencial lineal
29. Una epidemia se propaga a través de una población a un ritmo proporcional al producto del número de personas ya infectadas y el número de personas susceptibles, pero aún no infectadas. Por lo tanto, si \(S\) denota la población total de personas susceptibles y \(I=I(t)\) denota el número de personas infectadas en el momento \(t\), entonces \[I’=rI(S-I),\] donde \(r\) es una constante positiva. Suponiendo que \(I(0)=I_0\), halle \(I(t)\) para \(t>0\), y demuestre que \(\lim_{t\a\infty}I(t)=S\).
30. El resultado del ejercicio 2.2.29 es desalentador: si cualquier miembro susceptible del grupo está inicialmente infectado, ¡a la larga todos los miembros susceptibles están infectados! En una nota más esperanzadora, suponga que la enfermedad se propaga según el modelo del Ejercicio 2.2.29, pero que hay un medicamento que cura a la población infectada a una tasa proporcional al número de individuos infectados. Ahora la ecuación para el número de individuos infectados se convierte en \[I’=rI(S-I)-qI \tag{A} \N donde \N(q\\N) es una constante positiva.
31. Considere la ecuación diferencial \[y’=ay-by^2-q, \tag{A} \] donde \(a\), \(b\) son constantes positivas, y \(q\) es una constante arbitraria. Supongamos que \(y\) denota una solución de esta ecuación que satisface la condición inicial \(y(0)=y_0\).
Calculadora de separación de variables
Las ecuaciones diferenciales separables son un tipo especial de ecuaciones diferenciales en las que las variables implicadas pueden separarse para encontrar la solución de la ecuación. Las ecuaciones diferenciales separables pueden escribirse de la forma dy/dx = f(x) g(y), donde x e y son las variables y están explícitamente separadas entre sí. Después de separar las variables, la solución de la ecuación diferencial puede determinarse fácilmente integrando ambos lados de la ecuación. La ecuación diferencial separable dy/dx = f(x) g(y) se escribe como dy/g(y) = f(x) dx después de la separación de variables.
En este artículo, entenderemos cómo resolver ecuaciones diferenciales separables, problemas de valor inicial de las ecuaciones diferenciales separables y ecuaciones diferenciales no separables con la ayuda de ejemplos resueltos para una mejor comprensión.
Las ecuaciones diferenciales en las que las variables pueden separarse entre sí se denominan ecuaciones diferenciales separables. Una forma general de escribir ecuaciones diferenciales separables es dy/dx = f(x) g(y), donde las variables x e y pueden separarse entre sí. A continuación se dan otras formas de ecuaciones diferenciales separables que ayudarán a identificarlas al resolver problemas:
Solución de ecuaciones diferenciales
A continuación examinaremos una técnica de solución para encontrar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo la física, la química y la ingeniería. Al final de la sección ilustramos algunas aplicaciones.
El término “separable” se refiere al hecho de que el lado derecho de la ecuación \ref{sep} puede separarse en una función de \(x\) por una función de \(y\). Ejemplos de ecuaciones diferenciales separables son
La ecuación \ref{eq2} es separable con \(f(x)=6x^2+4x\) y \(g(y)=1\), La ecuación \ref{eq3} es separable con \(f(x)=1\) y \(g(y)=sec y+\tan y, \) y el lado derecho de la ecuación \ref{eq4} se puede factorizar como \((x+3)(y-2)\), por lo que es separable también. La ecuación \ref{eq3} también se llama una ecuación diferencial autónoma porque el lado derecho de la ecuación es una función de \(y\) solamente. Si una ecuación diferencial es separable, entonces es posible resolver la ecuación utilizando el método de separación de variables.
Ecuaciones separables
Las ecuaciones diferenciales separables son un tipo especial de ecuaciones diferenciales en las que las variables implicadas pueden separarse para encontrar la solución de la ecuación. Las ecuaciones diferenciales separables pueden escribirse de la forma dy/dx = f(x) g(y), donde x e y son las variables y están explícitamente separadas entre sí. Después de separar las variables, la solución de la ecuación diferencial puede determinarse fácilmente integrando ambos lados de la ecuación. La ecuación diferencial separable dy/dx = f(x) g(y) se escribe como dy/g(y) = f(x) dx después de la separación de variables.
En este artículo, entenderemos cómo resolver las ecuaciones diferenciales separables, los problemas de valor inicial de las ecuaciones diferenciales separables y las ecuaciones diferenciales no separables con la ayuda de ejemplos resueltos para una mejor comprensión.
Las ecuaciones diferenciales en las que las variables pueden separarse entre sí se denominan ecuaciones diferenciales separables. Una forma general de escribir ecuaciones diferenciales separables es dy/dx = f(x) g(y), donde las variables x e y pueden separarse entre sí. A continuación se dan otras formas de ecuaciones diferenciales separables que ayudarán a identificarlas al resolver problemas: