Calculadora de matrices de ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la propia función y de sus derivadas de varios órdenes. Una ecuación diferencial matricial contiene más de una función apilada en forma vectorial con una matriz que relaciona las funciones con sus derivadas.
Mediante el uso del teorema de Cayley-Hamilton y de las matrices de tipo Vandermonde, esta solución exponencial matricial formal puede reducirse a una forma sencilla[1] A continuación se muestra esta solución en términos del algoritmo de Putzer[2].
En el caso n = 2 (con dos variables de estado), las condiciones de estabilidad de que los dos valores propios de la matriz de transición A tengan cada uno una parte real negativa son equivalentes a las condiciones de que la traza de A sea negativa y su determinante positivo.
El proceso para resolver las ecuaciones anteriores y encontrar las funciones necesarias, de este orden y forma particulares, consta de 3 pasos principales. A continuación se describen brevemente cada uno de estos pasos:
Sistema de ecuaciones diferenciales
Como se sabe, la matriz es la herramienta más estudiada y utilizada en el área de la ingeniería. Así que si puedes convertir cualquier expresión matemática en forma de matriz, de repente obtendrás todo el conjunto de herramientas de una vez.
La respuesta a la pregunta iii) es “Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas” o “Ecuación diferencial lineal no homogénea”. (Básicamente, la propia matriz es una herramienta lineal. Por eso se aprende en el “curso de Álgebra LINEAL” -:)
¿No hay ninguna manera de utilizar la matriz para resolver la ecuación diferencial no lineal homogénea? No es posible, pero si usted puede convertir las ecuaciones no lineales en una ecuación lineal (Básicamente se trata de una aproximación dentro de un cierto rango de dominio), sería posible utilizar la matriz (Voy a explicar en este proceso de “linealización” más adelante en otra sección).
Veamos los detalles del proceso para convertir una ecuación diferencial en una forma matricial. Como habrás aprendido en las páginas de Matrix, necesitarás un conjunto de ecuaciones simultáneas para construir una matriz. En este caso, necesitarás un conjunto de ecuaciones simultáneas
Ecuación diferencial fundamental del sistema
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Sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Esta sección pretende ser un resumen de muchos de los conceptos básicos que se utilizan ocasionalmente al trabajar con sistemas de ecuaciones diferenciales. No habrá muchos detalles en esta sección, ni trabajaremos un gran número de ejemplos. Además, en muchos casos no veremos el caso general ya que no necesitaremos los casos generales en nuestro trabajo de ecuaciones diferenciales.
Empecemos con la notación básica de las matrices. Una matriz \(n \times m\) (esto a menudo se llama el tamaño o la dimensión de la matriz) es una matriz con \(n\) filas y \(m\) columnas y la entrada en el \(i^{texto{ésima}} fila y \(j^{texto{ésima}} columna se denota por \(a_{}\). Un método abreviado para escribir una matriz general \(n \times m\) es el siguiente.