Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
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En el capítulo anterior vimos las ecuaciones diferenciales de primer orden. En este capítulo pasaremos a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Al igual que en el capítulo anterior, veremos algunos casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden que podemos resolver. Sin embargo, a diferencia del capítulo anterior, vamos a tener que ser aún más restrictivos en cuanto a los tipos de ecuaciones diferenciales que vamos a ver. Esto será necesario para que podamos realmente resolverlas.
Conceptos básicos – En esta sección daremos una discusión en profundidad sobre el proceso utilizado para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas, lineales, de segundo orden, \(ay” + by’ + cy = 0\). Derivamos el polinomio característico y discutimos cómo se utiliza el Principio de Superposición para obtener la solución general.
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones[1] El término ordinario se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente[2].
Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en la física y la matemática aplicada son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (véase Función holonómica). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para facilitar su solución. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse de forma explícita suelen resolverse transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (véase, por ejemplo, la ecuación de Riccati).
Algunas EDO pueden resolverse explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas. Cuando esto no es posible, puede ser útil la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones. Para los problemas aplicados, los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.
Solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden
En la introducción del capítulo vimos que las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden se utilizan para modelar muchas situaciones en física e ingeniería. En esta sección, veremos cómo funciona esto para sistemas de un objeto con masa unido a un muelle vertical y un circuito eléctrico que contiene una resistencia, un inductor y un condensador conectados en serie. Modelos como estos pueden utilizarse para aproximar otras situaciones más complicadas; por ejemplo, los enlaces entre átomos o moléculas se modelan a menudo como resortes que vibran, como se describe en estas mismas ecuaciones diferenciales.
Consideremos una masa suspendida de un muelle unido a un soporte rígido. (La gravedad tira de la masa hacia abajo y la fuerza de restauración del muelle tira de la masa hacia arriba. Como se muestra en la figura (\PageIndex{1}), cuando estas dos fuerzas son iguales, se dice que la masa está en la posición de equilibrio. Si la masa se desplaza del equilibrio, oscila hacia arriba y hacia abajo. Este comportamiento puede ser modelado por una ecuación diferencial de segundo orden de coeficiente constante.
Ecuación diferencial de segundo orden en sistema de primer orden
La ecuación diferencial de segundo orden es un tipo específico de ecuación diferencial que consiste en una derivada de una función de orden 2 y no aparece ninguna otra derivada de orden superior de la función en la ecuación. Incluye términos como y”, d2y/dx2, y”(x), etc. que indican la derivada de segundo orden de la función. Generalmente, escribimos una ecuación diferencial de segundo orden como y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), donde p(x), q(x) y f(x) son funciones de x. Podemos resolver esta ecuación diferencial utilizando la ecuación auxiliar y diferentes métodos como el método de los coeficientes indeterminados y la variación de parámetros.
La ecuación diferencial y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 se llama ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes si las funciones p(x) y q(x) son constantes y se llama ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables si p(x) y q(x) no son constantes. En este artículo, entenderemos en detalle este tipo de ecuaciones diferenciales y sus diferentes tipos. También aprenderemos diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes utilizando los diferentes métodos con la ayuda de ejemplos resueltos y encontrando la ecuación auxiliar.