Resolución de ecuaciones lineales con 2 variables
Juan recibió una herencia de 12.000 $ que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para lograr la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales puede aproximarse a menudo mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Resolver un sistema de 5 ecuaciones
Hay tres tipos de soluciones que se pueden obtener cuando se intenta determinar el número de soluciones de los sistemas lineales: una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. Esta lección se centrará en cómo resolver un sistema de ecuaciones con tres variables.
Cómo determinar el número de soluciones de los sistemas linealesCuando los sistemas con tres variables tienen una solución, significa que hay exactamente un lugar en el plano 3D donde las tres líneas se cruzan. En otras palabras, hay exactamente un valor de x, y y z que satisface las tres ecuaciones del sistema. Observa la siguiente imagen para ver cómo se resuelve un sistema lineal con una solución. Observa cómo hay exactamente una solución para cada una de las tres variables, dando una solución final de (1/2, -2, 2).
Cómo resolver un sistema de ecuaciones con infinitas solucionesCuando los sistemas lineales en tres variables tienen infinitas soluciones, esto significa que las ecuaciones lineales son coincidentes. En otras palabras, producen exactamente la misma ecuación y se encuentran una encima de la otra. Esto significa que cada valor de x, y y z satisface las tres ecuaciones. Observa la siguiente imagen para ver cómo se resuelve un sistema lineal con infinitas soluciones. Observa cómo la ecuación del paso 1 produce exactamente la misma ecuación en el paso 2.
Sistema de ecuaciones lineales
Juan recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación gaussiana, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no hay un orden definitivo en el que se deben realizar las operaciones, sí hay pautas específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden hacer. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. El objetivo es eliminar una variable cada vez para conseguir la forma triangular superior, que es la forma ideal para un sistema de tres por tres, ya que permite una sustitución posterior directa para encontrar una solución que llamamos triple ordenada. Un sistema en forma triangular superior tiene el siguiente aspecto: