Producto de las series de potencia
En Introducción a las series de potencias, estudiamos cómo las funciones pueden representarse como series de potencias, También vimos que podemos encontrar representaciones en serie de las derivadas de dichas funciones diferenciando la serie de potencias término a término. Esto da y En algunos casos, estas representaciones de series de potencias se pueden utilizar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.
Tenga en cuenta que este tema sólo se trata brevemente en este texto. La mayoría de los libros de texto de introducción a las ecuaciones diferenciales incluyen un capítulo entero sobre soluciones de series de potencias. Este texto sólo tiene una sección sobre el tema, por lo que varias cuestiones importantes no se abordan aquí, en particular las cuestiones relacionadas con la existencia de soluciones. Los ejemplos y ejercicios de esta sección se han elegido para los que existen soluciones de potencia. Sin embargo, no siempre existen soluciones de potencia. Aquellos que estén interesados en un tratamiento más riguroso de este tema deberán consultar un texto de ecuaciones diferenciales.
Cerramos esta sección con una breve introducción a las funciones de Bessel. El tratamiento completo de las funciones de Bessel va mucho más allá del alcance de este curso, pero aquí tenemos una pequeña muestra del tema para que podamos ver cómo se utilizan las soluciones en serie de las ecuaciones diferenciales en aplicaciones del mundo real. La ecuación de Bessel de orden n viene dada por
Ecuación diferencial en serie de Taylor
Anteriormente, hemos estudiado cómo las funciones pueden representarse como series de potencias, \(\displaystyle y(x)={suma_{0}^{\infty} a_nx^n\). También vimos que podemos encontrar representaciones en serie de las derivadas de dichas funciones diferenciando la serie de potencias término a término. Esto da
Esta relación de recurrencia nos permite expresar cada coeficiente \_n(a_n\) en términos del coeficiente dos términos antes. Así se obtiene una expresión para valores pares de \(n\) y otra para valores impares de \(n\). Observando primero las ecuaciones que implican valores pares de \(n\), vemos que
Como es de esperar para una ecuación diferencial de segundo orden, esta solución depende de dos constantes arbitrarias. Sin embargo, nótese que nuestra ecuación diferencial es una ecuación diferencial de coeficiente constante, pero la solución de la serie de potencias no parece tener la forma familiar (que contiene funciones exponenciales) que estamos acostumbrados a ver. Además, puesto que \(y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}\) es la solución general de esta ecuación, debemos ser capaces de escribir cualquier solución en esta forma, y no está claro si la solución en serie de potencias que acabamos de encontrar puede, de hecho, ser escrita en esa forma.
Solucionador de ecuaciones diferenciales
Nota al margen. Algunas ecuaciones diferenciales (incluso lineales) sólo tienen soluciones en series de potencias divergentes, por ejemplo una ecuación L = z^2 + z^2 L + z^4 L’. Es interesante saber si sympy admite este tipo de ecuaciones junto con las habituales.
Podemos utilizar el método dsolve con pistas adicionales pidiendo representar la solución como serie de potencias formal. Esto sólo es posible para ciertos tipos de ecuaciones. Para la ecuación anterior, preguntamos por los posibles tipos de pistas.
Cuestión 1. Si queremos más términos, incluso digamos n = 10, la función trabaja durante mucho tiempo (normalmente, espero 20 coeficientes en varios segundos). Combinatoriamente, se puede escribir una recurrencia muy rápida para la EDO lineal. No sé si está implementada en sympy.
Serie de potencia de Wolfram alpha
Ecuaciones de primer orden. La validez de la diferenciación término a término de una serie de potencias dentro de su intervalo de convergencia implica que las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden resolverse suponiendo una solución de la forma
Como no hay ninguna restricción sobre c 0, c 0 es una constante arbitraria, y ya se sabe que c 1 = 0. La relación de recurrencia anterior dice que c 2 = ½ c 0 y c 3 = ⅓ c 1, que es igual a 0 (porque c 1 lo es). De hecho, es fácil ver que todo coeficiente c n con n impar será cero. En cuanto a c 4, la relación de recurrencia dice
Nótese que la solución general contiene un parámetro ( c 0), como se espera para una ecuación diferencial de primer orden. Esta serie de potencias es inusual porque es posible expresarla en términos de una función elemental. Obsérvese:
Es fácil comprobar que y = c 0 e x2 / 2 es efectivamente la solución de la ecuación diferencial dada, y′ = xy. Recuerda: La mayoría de las series de potencias no se pueden expresar en términos de funciones elementales conocidas, por lo que la respuesta final quedaría en forma de serie de potencias.