Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden
En esta sección examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que \(y(x)\Nes la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo \(y(x)\Nen la ecuación diferencial, tenemos
por lo que \(z(x)-y_p(x)\Nes una solución de la ecuación complementaria. Pero, \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\ es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que existen las constantes \(c_1\) y \(c_2\) tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma \(ay″+by′+cy=r(x)\), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Problemas y soluciones de ecuaciones diferenciales pdf
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior con soluciones pdf
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones[1] El término ordinario se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente[2].
Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en la física y la matemática aplicada son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (véase Función holonómica). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para facilitar su solución. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse de forma explícita suelen resolverse transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (véase, por ejemplo, la ecuación de Riccati).
Algunas EDO pueden resolverse explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas. Cuando esto no es posible, puede ser útil la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones. Para los problemas aplicados, los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales no homogéneas pdf
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que contiene una diferenciación y una función, con un conjunto de variables. La función f(x, y) en una ecuación diferencial homogénea es una función homogénea tal que f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0.
Una ecuación diferencial que contiene una función homogénea se llama ecuación diferencial homogénea. La función f(x, y) se llama función homogénea si f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de la ecuación diferencial homogénea es de la forma f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0. La ecuación diferencial homogénea tiene el mismo grado para las variables x, y dentro de la ecuación.
La ecuación diferencial homogénea no tiene un término constante dentro de la ecuación. La ecuación diferencial lineal tiene un término constante. La solución de una ecuación diferencial lineal es posible si somos capaces de eliminar el término constante de la ecuación diferencial lineal y transformarla en una ecuación diferencial homogénea. Además, la ecuación diferencial homogénea no tiene las variables x, y dentro de ninguna función especial como las funciones logarítmicas, o trigonométricas.