Ecuación diferencial lineal de segundo orden
ResumenEn este capítulo, comenzamos resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes mediante el uso de ecuaciones características. Luego resolvemos las ecuaciones de Euler y las ecuaciones exactas. También se presenta el método de los coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas. Además, damos el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales inhomogéneas de segundo orden, e introducimos el método de series de potencia para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficiente variable y estudiamos la ecuación de Bessel en detalle.Palabras claveEstas palabras clave fueron agregadas por la máquina y no por los autores. Este proceso es experimental y las palabras clave pueden actualizarse a medida que mejore el algoritmo de aprendizaje.
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Las ecuaciones que aparecen en las aplicaciones suelen ser de segundo orden, aunque de vez en cuando aparecen ecuaciones de orden superior. De ahí que se asuma generalmente que el mundo es de “segundo orden” desde la perspectiva de la física moderna. Los resultados básicos sobre las EDOs lineales de orden superior son esencialmente los mismos que para las ecuaciones de segundo orden, con el 2 sustituido por \(n\). El importante concepto de independencia lineal es algo más complicado cuando intervienen más de dos funciones.
Para las EDO de coeficiente constante de orden superior, los métodos son también algo más difíciles de aplicar, pero no nos detendremos en estas complicaciones. Siempre podemos utilizar los métodos para sistemas de ecuaciones lineales para resolver ecuaciones de coeficiente constante de orden superior. Empecemos, pues, con una ecuación lineal homogénea general:
En otras palabras, una combinación lineal de soluciones de la ecuación \ref{2.3.1} es también una solución de la ecuación \ref{2.3.1}. También tenemos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales no homogéneas.
Cuando teníamos dos funciones \(y_1\) y \(y_2\) decíamos que eran linealmente independientes si una no era múltiplo de la otra. La misma idea es válida para las funciones \(n\). En este caso es más fácil afirmar lo siguiente. Las funciones \(y_1, y_2, \dots , y_n\) son linealmente independientes si
Problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior con soluciones pdf
donde, a1, a2, … an-1, an son matrices reales N × N, y=y(t)={y1(t)y2(t)…yn(t)}Tes el vector de las funciones desconocidas, f(t)={f1(t)f2(t)…. fn(t)}T el vector de fuentes externas, y y0,y0′,y0″,…,y0(n-1) son vectores dados N × 1 que representan las condiciones iniciales.
En el método presentado, los sistemas de N EDO lineales (1.1a) se transforman en un sistema de L = n × N EDO de primer orden, que posteriormente se resuelve utilizando el método numérico desarrollado por Katsikadelis para sistemas de EDO de primer orden (Katsikadelis, 2016b). Este último método se basa en el principio de la ecuación analógica, que convierte las L ecuaciones de EDO de primer orden acopladas en un conjunto de L EDO de primer orden desacopladas de un solo término con fuentes ficticias.
Como se demostró en Katsikadelis (2016b), el esquema numérico de la Tabla 1 es estable si todos los valores propios λi de la matriz K tienen una parte real no negativa. A continuación, se demuestra que esta condición se satisface si las N raíces del polinomio de orden n-ésimo,
Según Katsikadelis (2016b), el esquema numérico es estable si los valores propios de la matriz K^=C-1K, donde C y K están definidos por las ecuaciones (2.4a,b), tienen una parte real no negativa. Aparentemente, como C = I, es K^=K. Por comodidad, ilustramos la prueba con una EDO de segundo orden. Luego, la prueba se extiende fácilmente a la EDO de n-ésimo orden.
Ecuación diferencial de orden Nth
Recordemos que el orden de una ecuación diferencial es la derivada más alta que aparece en la ecuación. Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Ahora nos embarcaremos en el análisis de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Limitaremos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales lineales.
Si \(p_1\), … \(p_n\) son continuas en un intervalo \([a,b]\) entonces existe una solución única al problema de valor inicial, donde en lugar de las condiciones iniciales \(y(0) = y_0\) y \(y'(0) = y’_0\), necesitamos las condiciones iniciales
\[W(y_1,y_2,… , y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & \cdots & y_n \ y_1′ & y_2′ & \cdots & \cdots & y_n’ \ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \vdots \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \ddots \ y_1^{(n- 1)} & y_2^{(n-1)} &\cdots & \cdots & y_n^{(n-1)} \cnd{vmatrix} \]