Método de integración del factor
Explicación: Esta es una ecuación diferencial separable. La forma más sencilla de resolverla es reescribir primero como y luego por un abuso de la notación “multiplicar ambos lados por dt”. Esto da como resultado . A continuación, agrupar todos los términos de y con dy e integrar, lo que nos lleva a . Resolviendo para y, tenemos . Introduciendo nuestra condición, encontramos . Elevando ambos lados a la potencia de -1/3, vemos . Así, nuestra solución final es
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Separación de variables pde
Ecuaciones diferenciales parcialesLas ecuaciones diferenciales parciales tendrán múltiples funciones con múltiples derivadas de variables, y se calculan con respecto a una o más de las variables. En general, son más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias; sin embargo, hay varios métodos para atacarlas. A continuación se muestra un ejemplo de un método. Una ecuación diferencial que se puede separar proviene de dos ecuaciones separadas (cada una contiene una variable) y se multiplican juntas. En términos matemáticos, esto sería {eq}u(x,y)=f(x)g(y)=XY {/eq}. Si la ecuación original tiene cualquier otra forma, como {eq}X+Y {/eq}, el problema no puede resolverse con diferenciación parcial. Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver siguiendo estos pasos: La ecuación diferencial a resolver es {eq}X’Y+XY’ {/eq}. En este ejemplo, consideremos el problema {eq}2\dfrac {du}{dx}-4\dfrac {du}{dy} {/eq}. (Nota: Asegúrate de no confundir las mayúsculas y las minúsculas en los cálculos).
Solucionador de ecuaciones diferenciales
Una vez hecho esto, todo lo que se necesita para resolver la ecuación es integrar ambos lados. Por lo tanto, el método de resolución de ecuaciones separables se puede resumir de la siguiente manera: Separar las variables e integrar.
Aunque el problema parece terminado, hay otra solución de la ecuación diferencial dada que no está descrita por la familia ½ y -2 = x -1 + x + c. En el paso de separación marcado (†), ambos lados se dividieron por y 3. Esta operación impedía derivar y = 0 como solución (ya que la división por cero está prohibida). Sin embargo, sucede que y = 0 es una solución de la ecuación diferencial dada, como puedes comprobar fácilmente (nota: y = 0 ⇒ dy = 0).
Si ambos lados de una ecuación diferencial separable se dividen por alguna función f( y) (es decir, una función de la variable dependiente) durante el proceso de separación, entonces se puede perder una solución válida. Como paso final, debe comprobar si la función constante y = y 0 [donde f( y 0) = 0] es realmente una solución de la ecuación diferencial dada. Si lo es, y si la familia de soluciones encontrada al integrar ambos lados de la ecuación separada no incluye esta función constante, entonces esta solución adicional debe ser declarada por separado para completar el problema.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias
En las secciones 7.2 y 7.3 hemos visto varias formas de aproximar la solución de un problema de valor inicial. Dada la frecuencia con la que surgen las ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea, nos gustaría disponer de algunas técnicas para encontrar soluciones algebraicas explícitas de ciertos problemas de valor inicial. En esta sección, nos centramos en una clase particular de ecuaciones diferenciales (llamadas separables) y desarrollamos un método para encontrar fórmulas algebraicas para sus soluciones.
Queremos separar las variables \(t\) y \(y\) de forma que todas las apariciones de \(t\) aparezcan en el lado derecho, y todas las apariciones de \(y\) aparezcan en el izquierdo, multiplicadas por \(dy/dt\text{.}) Para este ejemplo, dividimos ambos lados por \(y\) de forma que
Tenga en cuenta que cuando tratamos de separar las variables en una ecuación diferencial, se requiere que uno de los lados es un producto en el que la derivada \(dy/dt\) es un factor y el otro factor es sólo una expresión que implica \(y\text{.})
Esta ecuación dice que dos familias de antiderivadas son iguales entre sí. Por lo tanto, cuando encontramos las antiderivadas representativas de ambos lados, sabemos que deben diferir en una constante arbitraria \(C\text{.}\} Antidiferenciando e incluyendo la constante de integración \(C\) a la derecha, encontramos que