Hoja de trabajo de cambio de exponentes de base
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Ahora que hemos visto las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, tenemos que empezar a pensar en cómo resolver ecuaciones que las involucran. En esta sección veremos la resolución de ecuaciones exponenciales y veremos la resolución de ecuaciones logarítmicas en la siguiente sección.
Hay dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. Un método es bastante sencillo pero requiere una forma muy especial de la ecuación exponencial. El otro funciona con ecuaciones exponenciales más complicadas, pero a veces puede ser un poco complicado.
Ahora bien, en este caso no tenemos la misma base por lo que no podemos simplemente poner los exponentes iguales. Sin embargo, con un poco de manipulación del lado derecho podemos obtener la misma base en ambos exponentes. Para ello todo lo que tenemos que notar es que \ (9 = {3^2}\). Esto es lo que obtenemos cuando usamos este hecho.
Reglas de los exponentes
Las ecuaciones exponenciales, como su nombre indica, implican exponentes. Sabemos que el exponente de un número (base) indica el número de veces que se multiplica el número (base). Pero, ¿qué ocurre si la potencia de un número es una variable? Cuando la potencia es una variable y si forma parte de una ecuación, entonces se llama ecuación exponencial. Es posible que necesitemos utilizar la conexión entre los exponentes y los logaritmos para resolver las ecuaciones exponenciales.
Conozcamos la definición de ecuaciones exponenciales junto con el proceso de resolución de las mismas cuando las bases son iguales y cuando las bases no son iguales junto con algunos ejemplos resueltos y preguntas de práctica.
Una ecuación exponencial es una ecuación con exponentes donde el exponente (o) una parte del exponente es una variable. Por ejemplo, 3x = 81, 5x – 3 = 625, 62y – 7 = 121, etc. son algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales. Podemos encontrarnos con el uso de ecuaciones exponenciales cuando resolvemos problemas de álgebra, interés compuesto, crecimiento exponencial, decaimiento exponencial, etc.
Ecuaciones exponenciales sin logaritmos
(donde el argumento x se escribe como exponente). A menos que se especifique lo contrario, el término se refiere generalmente a la función de valor positivo de una variable real, aunque puede extenderse a los números complejos o generalizarse a otros objetos matemáticos como las matrices o las álgebras de Lie. La función exponencial se originó a partir de la noción de exponenciación (multiplicación repetida), pero las definiciones modernas (hay varias caracterizaciones equivalentes) permiten extenderla rigurosamente a todos los argumentos reales, incluidos los números irracionales. Su omnipresencia en las matemáticas puras y aplicadas llevó al matemático Walter Rudin a opinar que la función exponencial es “la función más importante de las matemáticas”[1].
que satisfacen la identidad de exponenciación también se conocen como funciones exponenciales, la función exponencial exp es la única función de valor real de una variable real cuya derivada es ella misma y cuyo valor en 0 es 1; es decir,
Motivado por propiedades y caracterizaciones más abstractas de la función exponencial, la exponencial puede generalizarse y definirse para tipos de objetos matemáticos completamente diferentes (por ejemplo, una matriz cuadrada o un álgebra de Lie).
Variable en el exponente
Una ecuación exponencialUna ecuación que incluye una variable como exponente. es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. En primer lugar, recordemos que las funciones exponenciales definidas por f(x)=bx, donde b>0 y b≠1, son uno a uno; cada valor del rango corresponde exactamente a un elemento del dominio. Por lo tanto, f(x)=f(y) implica x=y. Lo contrario es cierto porque f es una función. Esto nos lleva a la importantísima propiedad uno a uno de las funciones exponencialesDado b>0 y b≠1 tenemos bx=by si y sólo si x=y.:
Para resolver esto hacemos uso del hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dados x,y>0 la propiedad uno a uno de los logaritmosDado b>0 y b≠1 donde x,y>0 tenemos logb x=logb y si y sólo si x=y. se sigue:
Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver 3x=12 aplicamos el logaritmo común a ambos lados y luego utilizamos las propiedades del logaritmo para aislar la variable.