Variable en el exponente
relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas.Definición: Función logarítmicaUna función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Si =, entonces =log.Puesto que 2=8, u 8=2, está en
abajo.Propiedades: Reglas de los logaritmosRegla del producto: logloglog=+Regla del cociente: logloglog=Regla de la potencia: loglog=Nota que, en cada una de las reglas, las bases de los logaritmos son la misma
solución entera. Podemos utilizar una calculadora científica para aproximar la solución. Veamos cómo lo haríamos en los ejemplos que siguen.Ejemplo 1: Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmosResolver 3=11 para , dando su
A b x resolver para x
En Juan 6:1-15 y Mateo 1:13-21, la Biblia cuenta la historia de Jesús alimentando a los 5.000. Jesús atravesó el Mar de Galilea durante algún tiempo sólo con sus discípulos, pero la multitud de personas lo siguió por tierra y lo alcanzó rápidamente. Así que Jesús pasó el día enseñando y curando. Casi al anochecer, Jesús preguntó dónde comprar comida para los 5.000 hombres más las mujeres y los niños. Se calcula que la multitud era de 15.000 personas. Un muchacho tenía una comida de cinco pequeños panes de cebada y dos pequeños peces. Jesús tomó la comida, dio las gracias y partió el pan y los peces. Luego repartió los trozos de pan y pescado a los discípulos para que los dieran a la gente. Si el pan y los peces se dividen por la mitad, ¿cuántas veces habría que dividirlos para alimentar a las 15.000 personas?
Las funciones exponenciales tienen una propiedad uno a uno, lo que significa que cada valor de entrada, x, da un único valor de salida, y. Cada x da una sola y, y cada y da una sola x. Esto significa que las ecuaciones exponenciales tienen una sola solución.
El método 1 sólo funciona cuando ambos lados de la ecuación pueden escribirse fácilmente como expresiones exponenciales con la misma base. Si no es así, hay que utilizar métodos de resolución más tradicionales. Para resolver cualquier ecuación, se utilizan los inversos de las operaciones para obtener la variable sola. Para deshacer la multiplicación, la división; para deshacer el cuadrado, la raíz cuadrada; para deshacer la exponencial, el logaritmo. Así que para resolver una ecuación exponencial se utiliza el inverso, un logaritmo. Esto tiene el mismo efecto que reescribir la ecuación exponencial como un logaritmo.
Base del logaritmo
Una ecuación exponencialUna ecuación que incluye una variable como exponente. es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. En primer lugar, recordemos que las funciones exponenciales definidas por f(x)=bx, donde b>0 y b≠1, son uno a uno; cada valor del rango corresponde exactamente a un elemento del dominio. Por lo tanto, f(x)=f(y) implica x=y. Lo contrario es cierto porque f es una función. Esto nos lleva a la importantísima propiedad uno a uno de las funciones exponencialesDado b>0 y b≠1 tenemos bx=by si y sólo si x=y.:
Para resolver esto hacemos uso del hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dados x,y>0 la propiedad uno a uno de los logaritmosDado b>0 y b≠1 donde x,y>0 tenemos logb x=logb y si y sólo si x=y. se sigue:
Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver 3x=12 aplicamos el logaritmo común a ambos lados y luego utilizamos las propiedades del logaritmo para aislar la variable.
Ecuaciones exponenciales sin logaritmos
Determina primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden ser iguales entre sí. Si la ecuación no puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base, entonces aplica el logaritmo a cada lado y utiliza las propiedades de los logaritmos para resolverla.
La propiedad uno a uno puede utilizarse si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad uno a uno no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.
263. En química, el pH es una medida de la acidez y viene dada por la fórmula \(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde \(H^{+}\) es la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución.) Determine la concentración de iones de hidrógeno si el pH de una solución es \(4\).
264. El volumen del sonido, \(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula \(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde \(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determine la intensidad de una alarma que emite \(120\) dB de sonido.