Encuentre una base para el subespacio abarcado por los vectores dados
La semana pasada, vimos cómo crear una cuenta, un proyecto y una hoja de trabajo Sage en SageMathCloud, y algunas operaciones básicas dentro de la hoja de trabajo Sage – aritmética, trazado, resolución de sistemas de ecuaciones, creación y reducción de filas de matrices. Esta semana, nos centraremos en dos temas:
En ambos casos, el trozo (t,-5,5) dice que queremos ver los puntos en los que el parámetro t va de -5 a 5. (Dado que la recta es infinita, Sage no puede mostrar toda la recta, por supuesto.) En el caso implícito, el (x,-5,5) y el (y,-5,5) dicen que la ventana de visualización debe ser -5<x
¿Por qué las dos imágenes no se ven igual, si es el mismo plano? Recuerda que el extra (x,-5,5) y demás especifica la ventana de vista, mientras que el (s,-2,2) y demás especifica los parámetros a trazar; los dos no coinciden. Pequeño reto: ¿puede una ventana de visualización y rangos de parámetros para que los dos gráficos se vean iguales?
Por último, volvamos al álgebra matricial. Si dejamos que M sea la matriz 1×3 [1,2,3] entonces hemos estado viendo la ecuación Mx=[4]. Los vectores v y w de la forma paramétrica deberían ser soluciones de la ecuación Mx=[0], y p debería satisfacer Mp=4. Vamos a comprobarlo:
Span(s es un subespacio de v)
L en el semiplano derecho.Examplescollapse allSolve Continuous-Time Algebraic Riccati Equation Open Live ScriptPara resolver la ecuación algebraica de Riccati ATX+XA-XBBTX+CCT=0, considere las siguientes matrices:
Aquí, X2 es la única solución estabilizadora, K2 contiene la ganancia de retroalimentación de estado y L2 contiene los valores propios de lazo cerrado.Solución anti-estabilizadora de la ecuación algebraica de Riccati de tiempo continuo Open Live ScriptPara encontrar la solución anti-estabilizadora de la ecuación algebraica de Riccati de tiempo continuo ATX+XA-XBBTX+CCT=0, considere las siguientes matrices:
valores propios finitos antiestables de este lápiz.Historial de versionesIntroducido en R2019aVer tambiénishermitiano | idare | lyap | lqr | lqg | kalman | h2syn (Robust Control Toolbox) | hinfsyn (Robust Control Toolbox) | spectralfact | lncf (Robust Control Toolbox) | rncf (Robust Control Toolbox)
Calculadora de subespacios
ResumenEstudiamos y derivamos algoritmos para problemas no lineales de valores propios, donde la matriz del sistema depende del vector propio, o de varios vectores propios (o de su correspondiente subespacio invariante). Los algoritmos se derivan desde un punto de vista implícito. Más concretamente, modificamos la ecuación de actualización de Newton de forma que el siguiente iterado no sólo aparezca linealmente en la ecuación de actualización. Aunque las modificaciones de la ecuación de actualización hacen que los métodos sean implícitos, mostramos cómo los iterados correspondientes pueden calcularse explícitamente. Por lo tanto, podemos llevar a cabo los pasos del método implícito utilizando procedimientos explícitos. En varios casos, estos procedimientos implican la solución de problemas estándar de valores propios. Proponemos dos modificaciones, una de las cuales conduce directamente a un método bien establecido (la iteración de campo autoconsistente) mientras que el otro método es, según nuestro conocimiento, nuevo y tiene varias propiedades atractivas. Se proporciona la teoría de la convergencia junto con varias simulaciones que ilustran las propiedades de los algoritmos.
Describa el subespacio de r3 abarcado por
Será importante calcular el conjunto de todos los vectores que son ortogonales a un conjunto dado de vectores. Resulta que un vector es ortogonal a un conjunto de vectores si y sólo si es ortogonal al tramo de esos vectores, que es un subespacio, por lo que nos limitamos al caso de los subespacios.Tomar el complemento ortogonal es una operación que se realiza sobre subespacios.
Dado que cualquier subespacio es un span, la siguiente proposición da una receta para calcular el complemento ortogonal de cualquier subespacio. Sin embargo, a continuación daremos varios atajos para calcular los complementos ortogonales de otros tipos comunes de subespacios, en particular, los espacios nulos. Para calcular el complemento ortogonal de un subespacio general, normalmente es mejor reescribir el subespacio como el espacio de columnas o el espacio nulo de una matriz, como en esta importante nota de la sección 2.6.
Una vez más, es importante ser capaz de ir fácilmente hacia adelante y hacia atrás entre los espacios y los espacios de columnas. Si se le entrega un tramo, puede aplicar la proposición una vez que haya reescrito su tramo como un espacio de columnas.