La extensión de un conjunto de vectores
Mover las variables libres al lado derecho de las ecuaciones equivale a resolver las variables no libres (las que vienen de las columnas pivotantes) en términos de las variables libres. Se puede pensar en las variables libres como variables independientes, y en las variables no libres como dependientes.
Uno debe pensar en un sistema de ecuaciones como una ecuación implícita para su conjunto de soluciones, y en la forma paramétrica como la ecuación parametrizada para el mismo conjunto. La forma paramétrica es mucho más explícita: da una receta concreta para producir todas las soluciones.Se puede elegir cualquier valor para las variables libres en un sistema lineal (consistente).
Ecuaciones paramétricas para la línea de intersección de dos planos
ResumenDiscutimos el cálculo efectivo de singularidades geométricas de ecuaciones diferenciales ordinarias implícitas sobre los números reales utilizando métodos de la lógica. Mediante la teoría de Vessiot de las ecuaciones diferenciales, las singularidades geométricas pueden caracterizarse como puntos en los que cambia el comportamiento de un determinado sistema lineal de ecuaciones. Estos puntos pueden descubrirse utilizando una generalización paramétrica específicamente adaptada de la eliminación gaussiana combinada con técnicas de simplificación heurística y métodos de eliminación de cuantificadores reales. Demostramos la relevancia y aplicabilidad de nuestro enfoque con experimentos computacionales utilizando una implementación prototípica en Reduce.
Un conjunto semialgebraico de chorros de orden \(\ell \) es un subconjunto semialgebraico \({\mathcal {J}_{\ell }\subseteq J_{\ell }\pi \) del haz de chorros de orden \(\ell \). Tal conjunto es una ecuación diferencial semialgebraica, si además la clausura euclidiana de \pi ^{\ell }({\mathcal {J}}_{\ell })\Nes todo el espacio base \N(\mathbb {R}\).
Ax = 0; Poniendo la respuesta en forma de vector paramétrico
La semana pasada, vimos cómo crear una cuenta, un proyecto y una hoja de trabajo Sage en SageMathCloud, y algunas operaciones básicas dentro de la hoja de trabajo Sage – aritmética, trazado, resolución de sistemas de ecuaciones, creación y reducción de filas de matrices. Esta semana, nos centraremos en dos temas:
En ambos casos, el trozo (t,-5,5) dice que queremos ver los puntos en los que el parámetro t va de -5 a 5. (Dado que la recta es infinita, Sage no puede mostrar toda la recta, por supuesto). En el caso implícito, el (x,-5,5) y el (y,-5,5) dicen que la ventana de visualización debe ser -5<x
¿Por qué las dos imágenes no se ven igual, si es el mismo plano? Recuerda que el extra (x,-5,5) y demás especifica la ventana de vista, mientras que el (s,-2,2) y demás especifica los parámetros a trazar; los dos no coinciden. Pequeño reto: ¿puede una ventana de visualización y rangos de parámetros para que los dos gráficos se vean iguales?
Por último, volvamos al álgebra matricial. Si dejamos que M sea la matriz 1×3 [1,2,3] entonces hemos estado viendo la ecuación Mx=[4]. Los vectores v y w de la forma paramétrica deberían ser soluciones de la ecuación Mx=[0], y p debería satisfacer Mp=4. Comprobémoslo:
Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
En geometría, una hipersuperficie es una generalización de los conceptos de hiperplano, curva plana y superficie. Una hipersuperficie es una variedad algebraica de dimensión n – 1, que está incrustada en un espacio ambiente de dimensión n, generalmente un espacio euclidiano, un espacio afín o un espacio proyectivo[1].
En Rn, una hipersuperficie lisa es orientable.[2] Toda hipersuperficie lisa compacta conectada es un conjunto de nivel, y separa Rn en dos componentes conectados; esto está relacionado con el teorema de separación de Jordan-Brouwer.[3]
donde p es un polinomio multivariado. Generalmente se supone que el polinomio es irreducible. Cuando no es así, la hipersuperficie no es una variedad algebraica, sino sólo un conjunto algebraico. Puede depender de los autores o del contexto que un polinomio reducible defina una hipersuperficie. Para evitar la ambigüedad, se suele utilizar el término hipersuperficie irreducible.
Una hipersuperficie puede tener singularidades, que son los ceros comunes, si los hay, del polinomio definidor y sus derivadas parciales. En particular, una hipersuperficie algebraica real no es necesariamente una variedad.