Ecuación diferencial lineal
En matemáticas, un factor integrador es una función que se elige para facilitar la resolución de una ecuación dada que implica diferenciales. Se suele utilizar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero también se emplea en el cálculo multivariable cuando la multiplicación por un factor integrador permite convertir una diferencial inexacta en una diferencial exacta (que puede integrarse para obtener un campo escalar). Esto es especialmente útil en termodinámica, donde la temperatura se convierte en el factor integrador que hace de la entropía una diferencial exacta.
Consideremos una ecuación diferencial ordinaria que deseamos resolver para averiguar cómo depende la variable y de la variable x. Si la ecuación es de primer orden, entonces la derivada más alta involucrada es una primera derivada. Si además es una ecuación lineal entonces esto significa que cada término puede involucrar a y ya sea como la derivada O a través de un solo factor de y. Cualquier primer orden lineal puede ser reordenado para dar la siguiente forma estándar:
Una ecuación lineal de primer orden puede resolverse utilizando el método del factor integrador. Después de escribir la ecuación en forma estándar, se puede identificar P(x). A continuación, se multiplica la ecuación por el siguiente “factor integrador”:
Factor de integración
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es la de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o, de forma equivalente, \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntexto. Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Ecuación de diferencia lineal
Cuando se utiliza el método del factor integrador para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden por integración, hay cinco pasos clave: Primero, la ecuación diferencial debe escribirse en forma estándar: $$\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=q(x).
Tercero, ambos lados de la ecuación diferencial se multiplican por el factor integrador. El factor integrador está diseñado para simplificar el lado izquierdo de la ecuación a través de la regla del producto para las derivadas. Cuarto, integrar ambos lados de las ecuaciones. Quinto, resolver la función desconocida {eq}y.
No todas las ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante un factor integrador. Primero, la ecuación diferencial debe ser lineal y de primer orden. Luego, reescribir la ecuación en forma estándar $$\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=q(x).
Factor de integración de las ecuaciones diferenciales
la ecuación no es exacta. Sin embargo, podemos tratar de encontrar el llamado factor integrador, que es una función \mu \left( {x,y} \right)\mu tal que la ecuación se convierte en exacta después de la multiplicación por este factor. Si es así, entonces la relación
\frac {{parcial \mu }}{{parcial x}} + \mu \frac {{parcial Q}} {{parcial x}} = P\frac {{parcial \mu }} {{parcial y}} + \frac {{parcial P}} {{parcial y}}, \frac; \frac Q {{parcial \mu }} {{parcial x}} – P\frac{{parcial{mu}} {{parcial{y}} = \mu{{abajo}( {\frac{parcial{p}} {{parcial{y}} – \frac {{parcial Q}} {{parcial x}} \N – derecha).\N – [Desgraciadamente, no hay un método general]
Lamentablemente, no existe un método general para encontrar el factor integrador. Sin embargo, se pueden mencionar algunos casos particulares para los que se puede resolver la ecuación diferencial parcial y como resultado podemos construir el factor integrador.
\N – [\frac {{parcial Q}} {{parcial x}} = \frac {{parcial x}}left( {{x^2}y} \right) = 2xy = \frac {{parcial P}} {{parcial y}} = \frac {{parcial y}}left( {x + x{y^2}} \right) = 2xy.\N -]