Ejemplos de ecuaciones logarítmicas con diferentes bases
Asegúrate de comprobar si las soluciones que obtienes resuelven la ecuación logarítmica original. En esta guía de estudio pondremos una marca de verificación junto a la solución después de determinar que realmente resuelve la ecuación. Este proceso a veces da lugar a soluciones extrañas, por lo que debemos comprobar nuestras respuestas.
Consejo: ¡No todas las soluciones negativas son extrañas! Mira el conjunto de problemas anteriores y observa que algunos tienen respuestas negativas. La marca de verificación indica que hemos introducido las respuestas para comprobar que efectivamente resuelven el original. Por favor, no te saltes este paso, las soluciones extrañas ocurren a menudo.
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En matemáticas, el logaritmo es la función inversa a la exponenciación. Esto significa que el logaritmo de un número dado x es el exponente al que hay que elevar otro número fijo, la base b, para producir ese número x. En el caso más simple, el logaritmo cuenta el número de ocurrencias del mismo factor en la multiplicación repetida; por ejemplo, como 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, el “logaritmo base 10” de 1000 es 3, o log10 (1000) = 3. El logaritmo de x en base b se denota como logb (x), o sin paréntesis, logb x, o incluso sin la base explícita, log x, cuando no hay confusión posible, o cuando la base no importa, como en la notación big O.
El logaritmo de base 10 (es decir, b = 10) se denomina logaritmo decimal o común y se utiliza habitualmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene como base el número e (es decir, b ≈ 2,718); su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a que la integral y la derivada son más sencillas. El logaritmo binario utiliza la base 2 (es decir, b = 2) y se utiliza con frecuencia en informática.
Resolución de ecuaciones logarítmicas con diferentes bases calculadora
En esta sección desarrollaremos técnicas para resolver ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas. Supongamos, por ejemplo, que queremos resolver la ecuación \(2^x = 128,\) Si resulta que \(128 = 2^7\) entonces tenemos la solución de la ecuación: \(x = 7.\N-Sin embargo, si cambiamos ligeramente la ecuación a \(2^x = 129,\Neste método deja mucho que desear. El exponente que necesitamos en \(2\) para obtener \(129\) no se nos ocurre fácilmente. Aquí es donde los registros vienen al rescate. Al igual que elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación es una estrategia razonable cuando se trabaja con radicales, “registrar” ambos lados nos permite utilizar las reglas de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Podríamos tomar la base del logaritmo \(2\) de ambos lados, pero esto a veces presenta un problema:
Hemos resuelto para \(x{,}\}), pero ¿cómo calculamos \(\log_2(129)\}? La mayoría de las calculadoras no tienen un botón para la base del logaritmo \(2\text{,}\}) Si lo piensas, hay un número infinito de bases que podríamos considerar para un logaritmo. Probablemente tu calculadora tenga dos botones de logaritmos, uno para \(\ln(x)\️ y otro para \(log(x)\text{,}\️) de base \️ y \️. Afortunadamente, no todo está perdido. Vamos a ver cómo resolveríamos el problema limitado por nuestra elección de bases. Utilizaremos la base \(e\) para este problema.
Cómo resolver registros con diferentes bases y variables
En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó conejos en la naturaleza para su caza. Como Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento incontrolado de la población, como el de los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.
La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualesquiera números reales \(b\), \(S\) y \(T\), donde \(b>0\), \(b≠1\), \(b^S=b^T\) si y sólo si \(S=T\).
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno-a-uno para establecer los exponentes iguales entre sí, y resolver la incógnita.