Hoja de trabajo de resolución de ecuaciones logarítmicas mediante propiedades
Si una ecuación con logaritmos puede resolverse utilizando técnicas algebraicas, entonces esas técnicas generalmente implicarán las reglas del producto, el cociente y la potencia de los logaritmos -aplicadas en cualquier dirección-, así como el examen del problema en busca de bases comunes. Si la ecuación puede ser manipulada en la forma logbx=y (es decir, involucrando un solo logaritmo) entonces x=by.
Solución: En primer lugar, observa que por la regla de la potencia log2x2&equivalente;2 log2x, por lo que la ecuación original se reduce a log4x⋅log2x&equivalente;8. A continuación, utilizando la regla del cambio de base, tenemos que log4x=log2xlog24=log2x2. Sustituyendo esto en log4x⋅log2x=8 y multiplicando por 2, obtenemos log2x⋅log2x=log2x2=16. Tomando las raíces cuadradas de ambos lados se obtiene log2x&igual;±4. Por tanto, hay dos soluciones: x&igual;24&igual;16 y x&igual;2-4&igual;116.
Precaución: Al resolver ecuaciones que implican logaritmos, es muy importante tener en cuenta que el dominio de una función logarítmica son los números positivos. Como veremos en los ejemplos siguientes, las manipulaciones algebraicas de las expresiones que implican logaritmos pueden llevar fácilmente a “soluciones” que no son válidas debido a esta restricción de dominio. Como ilustración sencilla, observe que el dominio de la función y=log3x2 es x≠0, mientras que el dominio de y=2 log3x es x>0. La regla del producto para logaritmos requiere que todos los logaritmos que aparecen en la regla estén bien definidos.
Reglas del logaritmo
Comprueba: Puedes comprobar tu respuesta de dos maneras. Puedes representar gráficamente la función Ln(x)-8 y ver dónde cruza el eje x. Si estás en lo cierto, la gráfica debería cruzar el eje x en la respuesta que has obtenido algebraicamente.
Paso 2: Convierte la ecuación logarítmica en una ecuación exponencial: Si no se indica ninguna base, significa que la base del logaritmo es 10. Recuerda también que los logaritmos son exponentes, por lo que el exponente es
Paso 1: Observa que el primer término Ln(x-3) sólo es válido cuando x>3; el término Ln(x-2) sólo es válido cuando x>2; y el término Ln(2x+24) sólo es válido cuando x>-12. Si exigimos que x sea cualquier número real mayor que 3, los tres términos serán válidos. Si los tres términos son válidos, entonces la ecuación es válida.
Calculadora de registros
En esta sección se extiende la definición de a^r para incluir todos los valores reales (no sólo racionales) del exponente r. Por ejemplo, el nuevo símbolo 2^(raíz(3) podría evaluarse aproximando el exponente raíz(3) por los números 1.7,1.73,1.732. y así sucesivamente. Como estos decimales se acercan cada vez más al valor de raíz(3), parece razonable que 2^(raíz(3) se aproxime cada vez más a los números 2^(1,7),2^(1,73),2^(1,732), etc. (Recordemos, por ejemplo, que 2^(1,7)=2^(17/10)=raíz(10,2^17)) De hecho, así es exactamente como se define 2^(raíz(3) (en un curso más avanzado).
Con esta interpretación de los exponentes reales, todas las reglas y teoremas de los exponentes son válidos tanto para los exponentes de números reales como para los racionales. Además de las reglas de los exponentes presentadas anteriormente, en este capítulo se utilizan varias propiedades nuevas. Por ejemplo, si y=2^x, entonces cada valor real de x lleva exactamente a un valor dey, y por lo tanto. y=2^x define una función. Además,
Las propiedades (a) y (b) requieren a>0 para que a^x esté siempre definida. Por ejemplo, (-6)^x no es un número real si x = 1/2. Esto significa que a^x siempre será positivo, ya que a es positivo. En la parte (a), ¡a!=1 porque 1^x=1 para cada valor de número real de x, de modo que cada valor de x no conduce a un número real distinto. Para que se cumpla la propiedad (b), a no debe ser igual a 1 ya que, por ejemplo 1^4=1^5, aunque 4!=5.
Resolución de ecuaciones logarítmicas con diferentes bases
En matemáticas, el logaritmo es la función inversa a la exponenciación. Esto significa que el logaritmo de un número dado x es el exponente al que hay que elevar otro número fijo, la base b, para producir ese número x. En el caso más sencillo, el logaritmo cuenta el número de apariciones del mismo factor en la multiplicación repetida; por ejemplo, como 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, el “logaritmo base 10” de 1000 es 3, o log10 (1000) = 3. El logaritmo de x en base b se denota como logb (x), o sin paréntesis, logb x, o incluso sin la base explícita, log x, cuando no hay confusión posible, o cuando la base no importa, como en la notación big O.
El logaritmo de base 10 (es decir, b = 10) se denomina logaritmo decimal o común y se utiliza habitualmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene como base el número e (es decir, b ≈ 2,718); su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a que la integral y la derivada son más sencillas. El logaritmo binario utiliza la base 2 (es decir, b = 2) y se utiliza con frecuencia en informática.