Ecuación paramétrica del gradiente
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección tenemos que echar un vistazo a la ecuación de una línea en \ ({\mathbb{R}^3}\). Como hemos visto en la sección anterior la ecuación \ (y = mx + b\) no describe una línea en \({\mathbb{R}^3}), en su lugar describe un plano. Sin embargo, esto no significa que no podamos escribir una ecuación para una recta en el espacio tridimensional. Sólo vamos a necesitar una nueva forma de escribir la ecuación de una curva.
Así que, antes de entrar en las ecuaciones de las rectas, tenemos que ver brevemente las funciones vectoriales. Más adelante profundizaremos en las funciones vectoriales. En este punto, lo único que nos debe preocupar son las cuestiones notacionales y cómo se pueden utilizar para dar la ecuación de una curva.
Ecuación paramétrica de la línea recta en 3d
Para empezar, consideremos el caso \(n=1\) por lo que tenemos \(\mathbb{R}^{1}=\mathbb{R}\). Aquí sólo hay una recta que es la conocida recta numérica, es decir, \(\mathbb{R}\) misma. Por lo tanto, no es necesario explorar el caso de \(n=1\) más.
Consideremos ahora el caso en que \(n=2\), es decir \(\mathbb{R}^2\). Sean \(P\) y \(P_0\) dos puntos diferentes en \(\mathbb{R}^{2}\) que están contenidos en una línea \(L\). Sean \(\vec{p}\) y \(\vec{p_0}\) los vectores de posición de los puntos \(P\) y \(P_0\) respectivamente. Supongamos que \(Q\) es un punto arbitrario en \(L\). Consideremos el siguiente diagrama.
Nuestro objetivo es poder definir \(Q\) en términos de \(P\) y \(P_0\). Consideremos el vector (\overrightarrow{P_0P} = \vec{p} – \vec{p_0}\) que tiene su cola en \(P_0\) y punto en \(P\). Si sumamos \(\vec{p} – \vec{p_0}) al vector de posición \(\vec{p_0}) para \(P_0), la suma sería un vector con su punto en \(P\). En otras palabras, \[\vec{p} = \vec{p_0} + (\vec{p} – \vec{p_0})\numérico \].
Ecuación paramétrica de una línea en 2d
En el applet de abajo, las líneas pueden ser arrastradas como un todo o con uno de los dos puntos de definición. Cuando se arrastra una línea o se hace clic sobre ella, se muestra una de sus ecuaciones justo debajo del gráfico. Con la casilla Reducir marcada, la ecuación aparece en su forma más simple. El applet puede mostrar varias líneas simultáneamente. Para obtener líneas adicionales, marque la casilla Duplicar y comience a arrastrar una de las líneas ya presentes hasta la posición deseada. De hecho, estará arrastrando una copia recién creada de esa línea.
A continuación doy varias formas de la ecuación de una recta en función de los atributos con los que esté definida. En todos los casos, la comprobación es sencilla. Introduce los datos y comprueba que satisfacen la ecuación. Todas las ecuaciones que aparecen a continuación están derivadas en el sistema de coordenadas cartesianas habitual.
Los coeficientes A y B en la ecuación general son las componentes del vector n = (A, B) normal a la recta. El par r = (x, y) puede considerarse de dos maneras: como un punto o como un radio-vector que une el origen con ese punto. Esta última interpretación muestra que una recta es el lugar de los puntos r con la propiedad
Círculo paramétrico
0,-, donde ≠0.Sea cual sea la forma de la ecuación, los dos datos clave que definen una recta son su vector de dirección y uno de sus puntos. Veamos cómo funciona el razonamiento en 2D antes de pasar a las tres dimensiones (3D).Si tenemos una recta de vector dirección ⃑=(1,)
las coordenadas del punto cuando =0.Este conjunto de tres ecuaciones se llama las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. Como hay infinitos puntos que se encuentran en la recta y cualquier vector
+∞, no hay ninguna limitación), y todas ellas definen inequívocamente la misma recta.Definición: Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacioLas ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio son un conjunto no único de tres ecuaciones de la forma
número real (el parámetro) que varía de -∞ a +∞.Veamos el primer ejemplo.Ejemplo 1: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dado un punto y su vector de direcciónDar la ecuación paramétrica de la recta en el punto (2,-4,4),
=3+,=-5-,=9+5.Hallemos ahora las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos dados.Ejemplo 2: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dados dos puntosEscribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos