Calculadora de raíces enteras
Un número entero es un cuadrado perfecto o su raíz cuadrada es irracional. Dicho de otra manera, cuando se calcula la raíz cuadrada de un número entero, o bien no hay cifras a la derecha del decimal o bien hay un número infinito de cifras a la derecha del decimal y no se repiten. No hay término medio. No se puede esperar, por ejemplo, que la expansión decimal se detenga o se repita después de un centenar de términos.
Este teorema surgió hace poco cuando hablaba con uno de mis hijos sobre su clase de matemáticas, así que decidí buscar la demostración. Es más fácil de lo que esperaba, no mucho más difícil que la conocida prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Aquí va.
El lado derecho de la ecuación anterior es un número entero, así que el lado izquierdo también debe ser un número entero. Pero b es relativamente primo de a, y por tanto b es relativamente primo de an. La única manera de que an / b sea un entero es que b sea igual a 1 o -1. Por lo tanto, a/b debe ser un número entero.
Teorema de la raíz entera
Nota: puede o no ser obvio que esto es computable, ya que no sé lo suficiente sobre las matemáticas para decirlo, diré que muchas cosas que parecen computables no lo son a menos que su entrada y salida sean aceptables con una precisión finita.
El propio Diofanto en su Arithmetica buscaba principalmente soluciones racionales. A menudo, un problema se llama diofantino si estamos interesados en soluciones que están de alguna manera bastante relacionadas con los números enteros.
Nótese que (al menos para la gente de Lógica) la famosa ecuación de Fermat $x^n+y^n=z^n$ no es una ecuación diofantina, ya que los exponentes también son variables. Tales ecuaciones se denominan a veces Diofantina exponencial, o, más casualmente, Diofantina.
Encuentra una ecuación polinómica con coeficientes enteros que tenga las siguientes raíces
ResumenCoppersmith describió en Eurocrypt 96 un algoritmo para encontrar raíces pequeñas de ecuaciones polinómicas enteras bivariadas, basado en la reducción de la red. Posteriormente se propuso un algoritmo más sencillo en [9], pero era asintóticamente menos eficiente que el de Coppersmith. En este trabajo, describimos una simplificación análoga pero con la misma complejidad asintótica que Coppersmith. Ilustramos nuestro nuevo algoritmo con el problema de la factorización de módulos RSA con bits de alto orden conocidos; en experimentos prácticos nuestro método es varios órdenes de magnitud más rápido que [9].Palabras clave
Teorema de la raíz racional
Las ecuaciones cúbicas, que son ecuaciones polinómicas con un término de tercer grado como término de mayor orden, pueden resolverse utilizando la prueba de las raíces racionales y la división de polinomios. Aprende la definición de una ecuación cúbica, cómo usar la prueba de las raíces racionales para resolver la primera raíz y el proceso de usar la división de polinomios para determinar las otras dos soluciones.
Ecuaciones cúbicas¿Qué son las ecuaciones cúbicas? Las ecuaciones cúbicas son aquellas ecuaciones cuyo mayor grado es 3, lo que significa que la mayor potencia o exponente es 3. ¿Por qué 3? Bueno, piensa en un cubo. ¿Cómo se encuentra el volumen de un cubo? Como todos los lados tienen la misma longitud, se cubica uno de los lados, es decir, se lleva el lado a la tercera potencia. Así que si tuviéramos un cubo que midiera 15 centímetros en cada lado, entonces nuestro volumen sería 6 al cubo, o 6 a la tercera potencia (6^3). ¿Ves ese pequeño 3? Concéntrate en el pequeño. Cuando pienses en ecuaciones cúbicas, recuerda este pequeño 3 que siempre está ahí para encontrar el volumen de un cubo. Un ejemplo de ecuación cúbica es la ecuación: x^3 + 8x^2 + 19x + 12 = 0. ¿Ves el pequeño 3? Lo que vas a aprender en este vídeo sobre la resolución de este tipo de ecuaciones te ayudará a seguir creciendo en tus habilidades matemáticas. Te encontrarás con ecuaciones cúbicas en tus problemas y cuando intentes resolver problemas de física del mundo real. Una vez que hayas terminado de ver esta lección de vídeo, tendrás un método útil para resolver las ecuaciones cúbicas que te encontrarás en la vida. El proceso que vas a aprender requiere que sepas cómo realizar la división sintética o la división larga en tus polinomios. Si aún no lo sabes, tómate un tiempo ahora mismo para repasar tus conocimientos de división de polinomios.