Derivación de la ley Rayleigh-jeans
En física, la ley de Planck describe la densidad espectral de la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico a una temperatura T determinada, cuando no hay flujo neto de materia o energía entre el cuerpo y su entorno[1].
A finales del siglo XIX, los físicos no pudieron explicar por qué el espectro observado de la radiación de los cuerpos negros, que por entonces se había medido con precisión, divergía significativamente en las frecuencias más altas de lo predicho por las teorías existentes. En 1900, el físico alemán Max Planck dedujo heurísticamente una fórmula para el espectro observado suponiendo que un hipotético oscilador cargado eléctricamente en una cavidad que contuviera radiación del cuerpo negro sólo podría cambiar su energía en un incremento mínimo, E, que fuera proporcional a la frecuencia de su onda electromagnética asociada. Esto resolvió el problema de la catástrofe ultravioleta predicha por la física clásica. Este descubrimiento fue pionero en la física moderna y tiene una importancia fundamental para la teoría cuántica.
Ecuación de Planck
La ley de radiación de Planck describe la radiación emitida por los cuerpos negros. Sin embargo, existen diferentes formas de representación, que se analizarán con más detalle a continuación. Estas diferencias se deben principalmente a las diferentes cantidades que se consideran: por ejemplo, la intensidad por longitud de onda o la intensidad por ángulo sólido o la densidad de energía. Además, estas cantidades pueden considerarse en función de la longitud de onda o de la frecuencia de la radiación.
La figura siguiente muestra la intensidad espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro en función de la longitud de onda para diferentes temperaturas. La descripción matemática de estas curvas ya ha sido tratada con más detalle en el artículo sobre la ley de Planck:
\I_s(\lambda) = \frac{2\pi h c^2}\lambda^5} \cdot \frac{1}{exp\\c}[\dfrac{h c}{\lambda k_B T}[-1}} ~~~texto{capacidades espectrales (forma de longitudes de onda)} \\N-[5px]\N-end{align}
En esta forma de representación, el término intensidad significa una densidad de potencia superficial. La intensidad indica, pues, la potencia radiante del cuerpo negro, que emite por unidad de superficie. Utilizando el ejemplo ilustrativo de una bombilla, esto significaría que para el cálculo de su intensidad, la potencia radiante se divide por la superficie de la bombilla. Con una potencia radiante de 50 vatios y una superficie de 100 cm², se obtendría una intensidad de radiación de 0,5 W/cm² (“0,5 vatios por centímetro cuadrado”).
Longitud de onda de la ley de Planck
La ley de desplazamiento de Wien establece que la curva de radiación del cuerpo negro para diferentes temperaturas alcanza un pico en una longitud de onda inversamente proporcional a la temperatura. El desplazamiento de ese pico es una consecuencia directa de la ley de radiación de Planck, que describe el brillo espectral de la radiación del cuerpo negro en función de la longitud de onda a cualquier temperatura. Sin embargo, había sido descubierta por Wilhelm Wien varios años antes de que Max Planck desarrollara esa ecuación más general, y describe todo el desplazamiento del espectro de la radiación del cuerpo negro hacia longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura.
\N – [ = \dfrac{2h}{c^3} \left [ (3 \nu^2) \left( e^{frac {h\nu}{k_B T}-1 \right)^{-1} – ( \nu^3) \left( e^{frac {h\nu}{k_B T}-1 \right)^{-2} \left(\dfrac{h}{k_BT}\right) e^{frac {h\nu}{k_B T}} \[derecha] = 0\]
\N – [Inicio] \nu &\\\napprox \dfrac{2,8214\}, k_B}{h} T [4pt] &\\aaprox \dfrac{(2,8214 )(1,38 \a 10^{-23} J/K) }{6,63 \a 10^{-34}} J\\Ns} T [4pt] &\aaproximadamente (5,8 \a veces 10^{10} Hz/K)\a, T [end{align}\a].
Máximo de la ley de Planck
Podemos utilizar diferentes medidas para cuantificar la radiación. La cantidad de energía radiante se suele expresar en julios (J). Sin embargo, podemos estar interesados en la energía radiante por unidad de tiempo, llamada potencia radiante. La potencia se mide en vatios (W = J s-1). La emitancia radiante es la potencia emitida por una superficie; se mide en vatios por metro cuadrado (W m-2). La emitancia radiante espectral caracteriza la emitancia radiante por longitud de onda; se mide en W m-2 μm-1 (esta es la unidad utilizada en la figura 1). La radiancia es otra magnitud que se utiliza con frecuencia en la RS. Es la cantidad radiométrica que describe la cantidad de energía radiativa que se emite o refleja en una dirección específica por unidad de área proyectada por unidad de ángulo sólido y por unidad de tiempo. La radiancia suele expresarse en W sr-1 m-2 (sr es el estereorradián, unidad de ángulo sólido). La radiancia espectral utilizada en la ecuación 1 es la radiancia por longitud de onda y se mide en W sr-1 m-2 μm-1. La irradiancia es la cantidad de radiación incidente sobre una superficie por unidad de área y por unidad de tiempo. La irradiancia suele expresarse en W m-2.