Ejemplos de métodos de reducción
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones[1] El término ordinario se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente[2].
Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en la física y la matemática aplicada son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (véase Función holonómica). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para facilitar su solución. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse de forma explícita suelen resolverse transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (véase, por ejemplo, la ecuación de Riccati).
Algunas EDO pueden resolverse explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas. Cuando esto no es posible, puede ser útil la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones. Para los problemas aplicados, los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.
Método de reducción en matriz
En muchos dominios, la discretización de una ecuación diferencial parcial conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. En principio, siempre se puede transformar al primer orden y entonces se pueden aplicar los métodos de reducción del modelo para el sistema de primer orden (bandera -1 en mor4fem). Sin embargo, el sistema reducido en este caso se obtiene como las EDO de primer orden y esto no siempre es deseable.
En el caso especial de la amortiguación proporcional, es posible ignorar la matriz de amortiguación cuando se construye el subespacio de proyección, pero luego restaurar la matriz de amortiguación reducida a partir de las matrices de masa y rigidez reducidas. Lo más interesante es que el ajuste de momentos se produce automáticamente para cualquier valor de alfa y beta, es decir, en cierto modo, tenemos la reducción del modelo paramétrico con respecto a alfa y beta de forma gratuita, sin ningún esfuerzo adicional. Este es el comportamiento por defecto en mor4fem.
Cuando el amortiguamiento no es proporcional, uno puede derivar subespacios de Krylov de segundo orden para realizar la reducción del modelo directamente para el sistema de segundo orden. Esto resulta tener muchas ventajas en comparación con la transformación al sistema de primer orden. mor4fem tiene una implementación limitada del algoritmo SOAR (bandera -2).
Método de reducción en la integración
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por los lados del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En general, encontrar soluciones a este tipo de ecuaciones diferenciales puede ser mucho más difícil que encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de coeficiente constante. Sin embargo, si ya conocemos una solución de la ecuación diferencial podemos utilizar el método que utilizamos en la última sección para encontrar una segunda solución. Este método se llama reducción de orden.
Nótese que al simplificar los únicos términos que quedan son los que implican las derivadas de \(v\). El término que involucra a \(v\) desaparece. Si has hecho todo el trabajo correctamente esto debería ocurrir siempre. A veces, como en el caso de las raíces repetidas, el primer término de la derivada también desaparece.
Resolver el sistema por el método de la calculadora de reducción
ResumenLas reducciones de los sistemas de ecuaciones en términos de desplazamientos en elasticidad 3D a los sistemas de órdenes superiores basados en los operadores que son adecuados para la investigación numérica y analítica mejor que el operador Lamé, se llaman representaciones de la solución. La representación de Galerkin es uno de estos procedimientos típicos en la teoría clásica de la elasticidad. A continuación se generaliza el procedimiento de Galerkin en conformidad con los sistemas generados por el operador diferencial lineal tensorial simétrico (de segundo rango) de cuarto orden que actúa sobre el campo tensorial simétrico. Se realiza la reducción de tales sistemas a los sistemas de ecuaciones tetraarmónicas no acopladas. Se dan las soluciones fundamentales de las ecuaciones tetraarmónicas derivadas en espacios multidimensionales.