El disco de oro de Voyager
Triángulos similares y las seis funciones básicas de trigonometríaLa palabra “similar” significa la misma forma, pero quizás no el mismo tamaño. Como un modelo a escala. Lo que necesitamos aquí es “proporcionalidad”. De ahí viene CPSTP:Corresponding Parts of Similar Triangles are Proportional.Usamos esta proporción de similitud para demostrar que en un triángulo rectángulo, la razón de, por ejemplo, la altura a la base depende sólo de la forma del triángulo y no de su tamaño.
función senoAquí tienes una animación de un seno muy chulo (lo hice en 1996, de Mathematica a QuickTime a GIFBuilder); la altura del “palo” es el seno del ángulo; la longitud verde es el ángulo en radianes, de 0 a 2π.
amplitudEl gráfico animado anterior mostraba la función y = sin(x), que es y = 1 sin(x).La siguiente animación muestra y = A sin(x) , para A = -3, -2, -1, 0, 1, 2 y 3.Puedes ver el efecto que tiene la amplitud A. En las ondas sonoras se trata del “volumen”.
frecuenciaPor otro lado, y = sin(x) es y = sin(1 x).Las gráficas de y = sin(B x) tienen todas amplitud 1 pero difieren en la frecuencia.Observa que la gráfica de y = sin(x) tiene un periodo P = 2π = una ‘longitud de onda’.Cuanto mayor sea B, menos tiene que variar x para hacer sin(2π) , y por tanto el periodo de y = sin(Bx) es 2π/B ; en el sonido la frecuencia es el ‘tono’ o la nota que es. La posición horizontal de la gráfica está controlada por la B y la C en la ecuación y = sin(Bx – C). La B es la frecuencia (ver arriba), y la C es el ángulo o fase y afecta a la onda horizontalmente.Si B = 1, entonces y = sin(x – C) es simplemente y = sin(x) desplazado a la derecha por C. Esto es porque si x = C entonces estamos haciendo sin(0).Para B general, escribir y = sin[B{x – (C/B)}]. Entonces si x = C/B tenemos sin(0). Así que es un desplazamiento horizontal a la derecha por C/B.La ecuación y = sin(2x – π/2) tendría período π, desplazamiento de fase π/2, pero desplazamiento horizontal de sólo π/4. Así que y = 0 cuando x = π/4.
Phil bach
ResumenAplicando una fórmula de adición de Liu (2007), deducimos ciertas identidades de la función theta de Jacobi. A partir de estos resultados confirmamos varias identidades q-trigonométricas conjeturadas por Gosper (2001). También se resuelve otra identidad conjeturada sobre la constante Πq.
Sci. China Math. 63, 2415-2422 (2020). https://doi.org/10.1007/s11425-019-9555-1Download citationShare this articleAnyone you share the following link with will be able to read this content:Get shareable linkSorry, a shareable link is not currently available for this article.Copy to clipboard
Teorema de Van-Der-Waerden
Relación entre la transformada (continua) de Fourier y la transformada discreta de Fourier. Columna de la izquierda: Una función continua (arriba) y su transformada de Fourier (abajo). Columna del centro izquierda: Suma periódica de la función original (arriba). La transformada de Fourier (abajo) es cero excepto en los puntos discretos. La transformada inversa es una suma de sinusoides llamada serie de Fourier. Columna central derecha: La función original se discretiza (se multiplica por un peine de Dirac) (arriba). Su transformada de Fourier (abajo) es una suma periódica (DTFT) de la transformada original. Columna de la derecha: La DFT (abajo) calcula muestras discretas de la DTFT continua. La DFT inversa (arriba) es un sumatorio periódico de las muestras originales. El algoritmo de la FFT calcula un ciclo de la DFT y su inversa es un ciclo de la DFT inversa.
Representación de una transformada de Fourier (arriba a la izquierda) y su suma periódica (DTFT) en la esquina inferior izquierda. Las secuencias espectrales en (a) la parte superior derecha y (b) la parte inferior derecha se calculan respectivamente a partir de (a) un ciclo del sumatorio periódico de s(t) y (b) un ciclo del sumatorio periódico de la secuencia s(nT). Las fórmulas respectivas son (a) la integral de la serie de Fourier y (b) el sumatorio DFT. Sus similitudes con la transformada original, S(f), y su relativa facilidad de cálculo son a menudo la motivación para calcular una secuencia DFT.
Hermann Prey (1929-98)
Uno de los métodos generales de la teoría analítica de los números. Dos problemas de la teoría de los números requirieron para su solución la creación del método de las sumas trigonométricas: el problema de la distribución de las partes fraccionarias de un polinomio (cf. Parte fraccionaria de un número), y el problema de la representación de un número entero positivo como suma de términos de un tipo determinado (problemas aditivos de la teoría de los números, cf. Teoría aditiva de los números).
El esquema general para estudiar estos problemas de la teoría de los números por el método de las sumas trigonométricas es el siguiente. Se escribe la fórmula exacta que expresa el número de soluciones de la ecuación estudiada, o el número de partes fraccionarias de la función estudiada que se dan en un intervalo dado, o el número de puntos enteros en una región dada, en forma de integral de sumas trigonométricas o en forma de serie cuyos coeficientes son sumas trigonométricas. La fórmula exacta se expresa como la suma de dos términos, el principal y el secundario (por ejemplo, si se considera la serie de Fourier de la función característica de un intervalo, el término principal se obtiene a partir del coeficiente cero de la serie de Fourier); el término principal suministra el término principal de la fórmula asintótica, el término secundario suministra el término restante. En los problemas aditivos como el problema de Waring, el problema de Goldbach, etc., el término principal se estudia por un método cercano al método del círculo de Hardy-Littlewood-Ramanujan (este método se llama método del círculo en forma de sumas trigonométricas de Vinogradov). En la mayoría de los demás problemas (distribución de partes fraccionarias, puntos enteros en regiones, etc.), el término principal se obtiene trivialmente. Ahora se plantea el problema de estimar el término restante, y si se puede demostrar que es una cantidad de orden menor que el término principal, entonces se ha demostrado la fórmula asintótica.