Ejemplo de ecuación de primer grado
donde P y Q son funciones de x. El método para resolver este tipo de ecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones no exactas. Allí, la ecuación no exacta se multiplicaba por un factor integrador, lo que facilitaba su resolución (porque la ecuación se convertía en exacta).
En lugar de tener x como variable independiente e y como dependiente, en este problema t es la variable independiente y x es la dependiente. Así, la solución no será de la forma “y = alguna función de x” sino que será “x = alguna función de t”.
Qué es la ecuación de primer grado en una variable
Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer grado que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de unos segundos está dado por
La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección hacia abajo. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente ((Figura)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante por Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a o a alguna otra potencia de
Inecuaciones de primer grado en una variable
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds y =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Fichas para resolver ecuaciones de primer grado
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds y =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.