Ecuaciones exactas del factor de integración
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
El primer caso especial de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos es la ecuación diferencial lineal de primer orden. En este caso, a diferencia de la mayoría de los casos de primer orden que veremos, podemos derivar una fórmula para la solución general. La solución general se deriva a continuación. Sin embargo, le sugerimos que no memorice la fórmula en sí. En lugar de memorizar la fórmula deberías memorizar y entender el proceso que voy a utilizar para derivar la fórmula. En realidad, la mayoría de los problemas son más fáciles de resolver utilizando el proceso en lugar de la fórmula.
Entonces, veamos cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Recuerde que a medida que avanzamos a través de este proceso que el objetivo es llegar a una solución que está en la forma \ (y = y\left( t \right)\). A veces es fácil perder de vista el objetivo cuando pasamos por este proceso por primera vez.
Calculadora del factor integrador de la ecuación diferencial
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Solución del factor de integración
Uno de los tipos de ecuaciones más importantes que aprenderemos a resolver son las llamadas ecuaciones lineales. De hecho, la mayor parte del curso trata de ecuaciones lineales. En esta clase nos centramos en la ecuación lineal de primer orden. Una ecuación de primer orden es lineal si podemos ponerla en forma:
Las soluciones de las ecuaciones lineales tienen buenas propiedades. Por ejemplo, la solución existe donde se definen \(p(x)\Ny \N(f(x)\Ny tiene la misma regularidad (léase: es igual de bonita). Pero lo más importante para nosotros ahora mismo es que existe un método para resolver ecuaciones lineales de primer orden. El truco consiste en reescribir el lado izquierdo de \eqref(\1) como una derivada de un producto de \(y\) con otra función. Para ello, encontramos una función \(r(x)\) tal que
Ahora integramos ambos lados. El lado derecho no depende de \(y\) y el lado izquierdo se escribe como derivada de una función. A continuación, resolvemos para \(y\). La función \(r(x)\Nse llama factor integrador y el método se llama método del factor integrador.
Factor integrador diferencial total
Cuando se utiliza el método del factor integrador para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden por integración, hay cinco pasos clave: Primero, la ecuación diferencial debe escribirse en forma estándar: $$\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=q(x).
Tercero, ambos lados de la ecuación diferencial se multiplican por el factor integrador. El factor integrador está diseñado para simplificar el lado izquierdo de la ecuación a través de la regla del producto para las derivadas. Cuarto, integrar ambos lados de las ecuaciones. Quinto, resolver la función desconocida {eq}y.
No todas las ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante un factor integrador. Primero, la ecuación diferencial debe ser lineal y de primer orden. Luego, reescribir la ecuación en forma estándar $$\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=q(x).