Ecuaciones logarítmicas ejemplos y soluciones pdf
Como sabes, un logaritmo es una operación matemática que es la inversa de la exponenciación. Se expresa utilizando la abreviatura “log”. Antes de entrar a resolver ecuaciones logarítmicas, hay varias estrategias y “reglas” con las que debemos familiarizarnos.
En primer lugar, para resolver ecuaciones logarítmicas, al igual que con los polinomios, debes sentirte cómodo graficando funciones logarítmicas. Consulta nuestro vídeo sobre la graficación de funciones logarítmicas para obtener una visión general si es necesario. Además, antes de entrar en las reglas de los logaritmos, es importante que también entiendas una de las estrategias más sencillas de los logaritmos: la fórmula de cambio de base. De nuevo, mira nuestro vídeo sobre la fórmula de cambio de base si necesitas un repaso. Ahora que ya dominas todo esto, vamos a ver algunas de las reglas más importantes de los logaritmos:
Todas estas reglas, en su conjunto, son herramientas extremadamente poderosas que podemos utilizar para resolver cualquier problema logarítmico. Para un repaso en vídeo de estos conceptos, consulta nuestros vídeos sobre las propiedades de los logaritmos y la regla del cociente de los logaritmos. Ahora que hemos cubierto lo esencial, ¡vamos a ver cómo resolver problemas logarítmicos!
Hoja de trabajo de ecuaciones logarítmicas
Observa que la base tanto en la forma exponencial de la ecuación como en la forma logarítmica de la ecuación es “b”, pero que la x y la y cambian de lado cuando cambias entre las dos ecuaciones. Si recuerdas esto -que lo que había sido el argumento del logaritmo se convierte en el “igual” y lo que había sido el “igual” se convierte en el exponente en la exponencial, y viceversa- no deberías tener demasiados problemas para resolver ecuaciones logarítmicas.
Introduce esto en tu calculadora y obtendrás “3” como respuesta. Aunque esta técnica de cambio de base no es especialmente útil en este caso, puedes ver que funciona. (Pruébalo en tu calculadora, si aún no lo has hecho, para estar seguro de que sabes qué teclas pulsar y en qué orden). Necesitarás esta técnica en problemas posteriores.
No estoy diciendo que necesariamente quieras resolver ecuaciones utilizando la fórmula de cambio de base, o siempre utilizando la definición de logaritmos, o cualquier otro método en particular. Pero sí sugiero que te asegures de que te sientes cómodo con los distintos métodos y que no te asustes si tú y un amigo utilizáis métodos totalmente diferentes para resolver la misma ecuación.
Ejemplo de función logarítmica
Si una ecuación con logaritmos puede resolverse mediante técnicas algebraicas, entonces esas técnicas generalmente implicarán las reglas del producto, el cociente y la potencia de los logaritmos -aplicadas en cualquier dirección-, así como el examen del problema en busca de bases comunes. Si la ecuación puede ser manipulada en la forma logbx=y (es decir, involucrando un solo logaritmo) entonces x=by.
Solución: En primer lugar, observa que por la regla de la potencia log2x2&equivalente;2 log2x, por lo que la ecuación original se reduce a log4x⋅log2x&equivalente;8. A continuación, utilizando la regla del cambio de base, tenemos que log4x=log2xlog24=log2x2. Sustituyendo esto en log4x⋅log2x=8 y multiplicando por 2, obtenemos log2x⋅log2x=log2x2=16. Tomando las raíces cuadradas de ambos lados se obtiene log2x&igual;±4. Por tanto, hay dos soluciones: x&igual;24&igual;16 y x&igual;2-4&igual;116.
Precaución: Al resolver ecuaciones que implican logaritmos, es muy importante tener en cuenta que el dominio de una función logarítmica son los números positivos. Como veremos en los ejemplos siguientes, las manipulaciones algebraicas de las expresiones que implican logaritmos pueden llevar fácilmente a “soluciones” que no son válidas debido a esta restricción de dominio. Como ilustración sencilla, observe que el dominio de la función y=log3x2 es x≠0, mientras que el dominio de y=2 log3x es x>0. La regla del producto de los logaritmos requiere que todos los logaritmos que aparecen en la regla estén bien definidos.
Resolución de ecuaciones logarítmicas
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estés en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección veremos cómo resolver ecuaciones logarítmicas, o ecuaciones con logaritmos. Aquí veremos dos tipos específicos de ecuaciones. En particular, veremos ecuaciones en las que cada término es un logaritmo y también veremos ecuaciones en las que todos los términos de la ecuación, excepto uno, son logaritmos y el término sin logaritmo será una constante. Además, supondremos que los logaritmos de cada ecuación tendrán la misma base. Si hay más de una base en los logaritmos de la ecuación el proceso de solución se vuelve mucho más difícil.
\2{log _9}\a la izquierda( {cuadrado de {\frac{1}{5}} \a la derecha) – {{log _9}\a la izquierda( {{frac{1}{5}} \a la derecha) \a la derecha) = 2{{log _9}\a la izquierda( {{frac{1}{5}} \a la derecha) \N-derecha) = 2{log _9}\N-izquierda( {\sqrt {\frac{1}{5}} \N-derecha) – {{log _9}\N-izquierda( {\frac{1}{5}} \N-derecha) = 0\].