Graficar ecuaciones lineales
El sistema gráfico de ecuaciones es útil para representar las ecuaciones de líneas o curvas en el sistema de coordenadas bidimensional y para aprender fácilmente las diversas características de la gráfica representada. El punto de intersección de las rectas, las intercepciones con respecto al eje de coordenadas y el área delimitada por las rectas pueden estudiarse mediante el sistema de ecuaciones gráficas.
El sistema gráfico de ecuaciones ayuda a conocer el punto de intersección de las líneas, el área encerrada por las líneas de la ecuación y las intercepciones hechas por las líneas con respecto al sistema de coordenadas. Para el sistema gráfico de ecuaciones, las ecuaciones pueden incluir una línea o una curva. Aquí consideramos las líneas para graficar el sistema de ecuaciones. La forma más simple de una ecuación para graficar es la forma estándar de la ecuación de una línea, que es ax + by + c = 0.
Aquí consideramos la gráfica de las ecuaciones a1x + b1y + c1 = 0, y a2x + b2y + c2 = 0, y pretendemos encontrar el punto de intersección, las intercepciones hechas por las rectas, la relación entre las rectas, y el área encerrada por las rectas.
Ejemplos de gráficos de sistemas de ecuaciones lineales
Obsérvese que este concepto contiene elementos de dos campos de las matemáticas, la recta de la geometría y los números del álgebra. René Descartes (1596-1650) ideó un método para relacionar los puntos de un plano con los números algebraicos. Este esquema se denomina sistema de coordenadas cartesianas (por Descartes) y a veces se denomina sistema de coordenadas rectangulares.
Los puntos del plano se designan mediante pares ordenados de números escritos entre paréntesis con una coma entre ellos, como por ejemplo (5,7). Se llama par ordenado porque el orden en que se escriben los números es importante. El par ordenado (5,7) no es el mismo que el par ordenado (7,5). Los puntos se localizan en el plano de la siguiente manera.
Primero, se parte del origen y se cuenta a la izquierda o a la derecha el número de espacios designados por el primer número del par ordenado. En segundo lugar, desde el punto del eje x dado por el primer número se cuenta hacia arriba o hacia abajo el número de espacios designados por el segundo número del par ordenado. Los pares ordenados se escriben siempre con x primero y luego con y, (x,y). Los números representados por x e y se llaman coordenadas del punto (x,y).
Representar gráficamente el sistema de inecuaciones lineales
En Resolución de ecuaciones e inecuaciones lineales aprendimos a resolver ecuaciones lineales con una variable. Recuerda que la solución de una ecuación es un valor de la variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.
Una ecuación lineal en dos variables, como 2x + y = 7, tiene un número infinito de soluciones. Su gráfica es una recta. Recuerda que cada punto de la recta es una solución de la ecuación y que cada solución de la ecuación es un punto de la recta.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de ambas ecuaciones. En otras palabras, buscamos los pares ordenados (x, y) que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Son las soluciones de un sistema de ecuaciones.
Para determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de dos ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, es una solución del sistema.
La gráfica de una ecuación lineal es una recta. Cada punto de la recta es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones, graficaremos dos rectas. Así podremos ver todos los puntos que son soluciones de cada ecuación. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
Cómo graficar un sistema de ecuaciones lineales en dos variables
En esta lección, los estudiantes recuerdan que un sistema de ecuaciones en dos variables es un conjunto de ecuaciones que representan múltiples restricciones en la misma situación, y que una solución del sistema es cualquier par de valores que satisfacen todas las restricciones simultáneamente. Los alumnos también repasan la idea de que la solución, si la hay, puede representarse gráficamente como la intersección de las gráficas de las ecuaciones.
Los alumnos escriben un sistema de ecuaciones para representar las cantidades y las restricciones en cada una de las diversas situaciones, encuentran una solución que satisface las múltiples restricciones mediante una gráfica y luego interpretan la solución en su contexto. En el proceso, razonan tanto abstracta como cuantitativamente (MP2). A medida que analizan las relaciones de forma matemática y reflexionan sobre los resultados, los alumnos también participan en aspectos de la modelización (MP4).
Algunos estudiantes que recuerdan el trabajo sobre los sistemas de ecuaciones del octavo grado pueden optar por resolver los sistemas algebraicamente. Esto es apropiado y bienvenido, pero no es necesario introducir la idea a la clase aquí. Los estudiantes utilizarán el álgebra para resolver los sistemas a partir de la próxima lección.