Cómo encontrar una solución particular a una ecuación diferencial
En esta sección examinaremos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que \(y(x)\Nes la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo \(y(x)\Nen la ecuación diferencial, tenemos
por lo que \(z(x)-y_p(x)\Nes una solución de la ecuación complementaria. Pero, \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\ es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que existen las constantes \(c_1\) y \(c_2\) tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma \(ay″+by′+cy=r(x)\), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Encontrar la solución particular de una ecuación diferencial calculadora
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Una de las principales ventajas de este método es que reduce el problema a un problema de álgebra. El álgebra puede ser complicada en ocasiones, pero para la mayoría de los problemas no será terriblemente difícil. Otra cosa buena de este método es que la solución complementaria no se requerirá explícitamente, aunque como veremos el conocimiento de la solución complementaria se necesitará en algunos casos y así lo encontraremos generalmente también.
Este método tiene dos desventajas. En primer lugar, sólo funcionará para una clase bastante pequeña de \(g(t)\Nde. La clase de \(g(t)\)’s para la que el método funciona, incluye algunas de las funciones más comunes, sin embargo, hay muchas funciones por ahí para que los coeficientes indeterminados simplemente no funcionará. En segundo lugar, generalmente sólo es útil para ecuaciones diferenciales de coeficiente constante.
Cómo encontrar la solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden
La rutina particularsol se utiliza para encontrar una solución particular para una ecuación diferencial ordinaria (EDO) no lineal, o para una EDO lineal no homogénea sin calcular la solución general de su parte homogénea.
Para las EDOs lineales, particularsol intenta, en secuencia, calcular soluciones particulares de forma racional (ver DEtools[ratsols]), exponencial y d’Alembertian (ver LinearOperators[dAlembertianSolver]). Si no se encuentra ninguna solución particular, particularsol devuelve NULL.
Cuando la entrada es una lista de los coeficientes de yx y sus derivadas que representan una EDO lineal, por ejemplo obtenida de la EDO usando DEtools[convertAlg], la salida no es una ecuación sino una expresión que representa la solución particular – ver los ejemplos.
En el caso de una EDO lineal, mientras que particularsol es útil para calcular una solución particular cuando no se conoce la solución general de la parte homogénea de la EDO, siempre se puede calcular una solución particular si se conoce la solución general – para ello utilice DEtools[varparam].
Solución homogénea y particular
La solución particular de la ecuación diferencial es una solución única de la forma y = f(x), que satisface la ecuación diferencial. La solución particular de la ecuación diferencial se obtiene asignando valores a las constantes arbitrarias de la solución general de la ecuación diferencial.
Conozcamos más sobre la solución particular de la ecuación diferencial, cómo encontrar la solución de la ecuación diferencial y la diferencia entre una solución particular y la solución general de la ecuación diferencial.
La solución particular de la ecuación diferencial es una ecuación de la forma y = f(x), que no contiene ninguna constante arbitraria, y satisface la ecuación diferencial. La ecuación o una función de la forma y = f(x), que tiene valores específicos de x que satisfacen esta ecuación y se llaman las soluciones de esta ecuación. Para una ecuación diferencial d2y/dx2 + 2dy/dx + y = 0, los valores de y que satisfacen esta ecuación diferencial se llaman solución de la ecuación diferencial.