Ecuación cónica de la parábola
Si el cono circular recto es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es una circunferencia. Si el plano corta una de las piezas del cono y su eje pero no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una parábola, el plano de intersección debe ser paralelo a uno de los lados del cono y debe intersecar una pieza del doble cono. Y por último, para generar una hipérbola el plano interseca ambas piezas del cono. Para ello, la pendiente del plano de intersección debe ser mayor que la del cono.
A medida que cambiamos los valores de algunas de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiará. Es importante conocer las diferencias de las ecuaciones para ayudar a identificar rápidamente el tipo de cónica que representa una determinada ecuación.
. Geométricamente da el punto o puntos de intersección de dos o más rectas. De manera similar, las soluciones del sistema de ecuaciones cuadráticas darían los puntos de intersección de dos o más cónicas.
Identificación de secciones cónicas
Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos, y se consideraban un concepto matemático importante. Ya en el año 320 a.C., matemáticos griegos como Menaechmus, Apolonio y Arquímedes estaban fascinados por estas curvas. Apolonio escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre las secciones cónicas en el que, por ejemplo, fue capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antenas parabólicas e incluso en arquitectura. En esta sección se analizan las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones.
Las secciones cónicas reciben su nombre porque pueden generarse al intersecar un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica llamadas napas. Una de las capas es lo que la mayoría de la gente entiende por “cono” y tiene la forma de un sombrero de fiesta. Un cono circular recto se puede generar girando una línea que pasa por el origen alrededor del eje y, como se muestra en la Figura \(\PageIndex{1}\).
Ax2+by2+cx+dy+e=0 se llama
Las secciones cónicas son las curvas que pueden derivarse de tomar cortes de un cono de “doble nudo”. Un cono de doble curvatura, en inglés regular, son dos conos “nariz con nariz”, con un cono perfectamente equilibrado sobre el otro.
El término “sección” se utiliza aquí en un sentido similar al de la medicina o la ciencia, donde una muestra (de una biopsia, por ejemplo) se congela o se impregna con una resina endurecedora, y luego se cortan rodajas extremadamente finas (es decir, secciones) para verlas al microscopio.
Si pensamos en los conos de doble capa como si fueran huecos (por ejemplo, de cartón), las curvas a las que nos referimos como “secciones cónicas” son las que resultan cuando seccionamos, o cortamos, los conos en varios ángulos. En otras palabras, imagine que toma esa construcción de cono de cartón de nariz a nariz y la corta con una sierra; esos bordes cortados en bruto representan la curva que llamamos sección cónica.
(Para que sea una “sección” propiamente dicha, habría que sacar un trozo muy fino de cartón de nuestra construcción, pero eso no es estrictamente necesario. El concepto representado por ese borde crudo es lo que importa aquí).
Ecuación de la hipérbola
Las cónicas o formas cónicas son planos cortados por un cono. En función del ángulo de intersección, se obtienen diferentes cónicas. La parábola, la elipse y la hipérbola son cónicas. El círculo es una cónica especial. Las formas cónicas son bidimensionales y se muestran en los ejes x, y. Las formas cónicas se ven mucho en la naturaleza y en obras y estructuras hechas por el hombre. Se utilizan de forma beneficiosa en los campos de la electrónica, la arquitectura, la alimentación y la panadería, y el automóvil y la medicina.
Según el ángulo de intersección entre un plano y un cono, se obtienen cuatro secciones cónicas diferentes. Son la parábola, la elipse, la hipérbola y el círculo. Son bidimensionales en el eje x-y.
La sección cónica implica un plano de corte, la superficie de un cono doble en forma de reloj de arena y la intersección del cono por el plano. Según el ángulo de corte, es decir, ángulo ligero, paralelo al borde y ángulo profundo, se obtienen respectivamente la elipse, la parábola y la hipérbola. El círculo también es cónico, y se corta paralelo a la cara inferior circular del cono.