Derivación de la ley de Torricelli
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En física, la ecuación de Torricelli, o fórmula de Torricelli, es una ecuación creada por Evangelista Torricelli para encontrar la velocidad final de un objeto que se mueve con una aceleración constante a lo largo de un eje (por ejemplo, el eje x) sin tener un intervalo de tiempo conocido.
es el intervalo de tiempo. Esto es cierto porque la aceleración es constante. El lado izquierdo es este valor constante de la aceleración y el lado derecho es la aceleración media. Como la media de una constante debe ser igual al valor constante, tenemos esta igualdad. Si la aceleración no fuera constante, esto no sería cierto.
La ley de Torricelli de drenaje
El propósito de este Caso Práctico de Cálculo es determinar el tiempo que tardaría un tanque cilíndrico de dimensiones dadas en vaciar su contenido líquido a través de un orificio de salida inferior. Como todos los CSC, éste representa una aplicación real del cálculo. De hecho, la solución de este problema práctico se remonta a un principio enunciado por Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físico que fue secretario de Galileo. En el CSC se utiliza el cálculo para modelizar y resolver el problema.
Para una cantidad dada de gas, la Ley de Boyle establece que la presión ejercida por el gas y el volumen que ocupa son inversamente proporcionales entre sí; es decir, P = C/V; o, de forma equivalente, PV = C. Supongamos que el volumen cambia con el tiempo, por lo que V es función de t. Encuentra la tasa de cambio de la presión con respecto al tiempo de dos formas diferentes: en términos de V, dV/dt solamente, y en términos de P, dV/dt solamente.
Un gas ocupa 6,52 litros a una presión de 0,92 atmósferas. Determina el volumen si se aumenta la presión a 1,44 atmósferas. Si el cambio de presión es lineal y se produce en un periodo de 5 segundos, ¿cuál es la tasa instantánea de cambio del volumen con respecto al tiempo a los 2 segundos?
Ejemplo de la ley de Torricelli
Un líquido sale por el fondo de un embudo. Por la ley de Torricelli, la velocidad del líquido en la salida es , donde es la aceleración debida a la gravedad y es la profundidad del líquido. El flujo es entonces , donde es el volumen y es el radio del desagüe.
La ecuación diferencial para , la profundidad del agua (en pies), es , donde la constante empírica puede ajustarse para compensar la viscosidad y la turbulencia, es el radio del desagüe (pulgadas), es la altura inicial del agua, y es el radio de la parte superior del cono.El tiempo final es .El volumen del cono es , donde es la altura del cono, y = para esta Demostración. El volumen del tanque es , donde es el radio del tanque y es su altura.En cualquier momento la altura del agua en el tanque de drenaje se puede encontrar por: El volumen del tanque de drenaje es exactamente el mismo que el del cono cuando está lleno hasta arriba.
Ecuaciones diferenciales con e
La ley de Torricelli describe la velocidad de separación de un chorro de agua, basándose en la distancia por debajo de la superficie en la que comienza el chorro, suponiendo que no hay resistencia del aire, viscosidad u otro obstáculo al flujo del fluido. Este diagrama muestra varios chorros de este tipo, alineados verticalmente, que salen del depósito horizontalmente. En este caso, los chorros tienen una envolvente (concepto que también se debe a Torricelli) que es una línea que desciende a 45° de la superficie del agua sobre los chorros. Cada chorro llega más lejos que cualquier otro en el punto en el que toca la envolvente, que se encuentra a dos veces la profundidad del origen del chorro. La profundidad a la que se cruzan dos chorros es la suma de sus profundidades de origen. Todo chorro (aunque no salga horizontalmente) sigue una trayectoria parabólica cuya directriz es la superficie del agua.
La ley de Torricelli, también conocida como teorema de Torricelli, es un teorema de la dinámica de los fluidos que relaciona la velocidad del fluido que sale de un orificio con la altura del fluido por encima de la abertura. La ley establece que la velocidad v de salida de un fluido a través de un orificio con bordes afilados en el fondo del depósito lleno hasta una profundidad h es la misma que la velocidad que adquiriría un cuerpo (en este caso una gota de agua) al caer libremente desde una altura h, es decir