Uso de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se describen en esta sección.
Calculadora de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se describen en esta sección.
Resolución de sistemas de ecuaciones con la regla de Cramer
a mano, usando un enfoque estándar de la escuela secundaria de eliminar las variables, ¡entonces aparece la regla de Cramer! En mi opinión, esta es la forma más probable de que un matemático descubra el determinante en primer lugar, y la regla de Cramer se descubre simultáneamente.
Recuerdo que pensé que debía ser bastante difícil demostrar la regla de Cramer para una matriz de $n veces n$, pero resulta ser sorprendentemente fácil (una vez que se adopta el enfoque correcto). Lo demostraremos a continuación.
Definir $\Delta_1=\\NIzquierda|\Nde inicio{matriz}c_1 & b_1 \\Nde fin{matriz}\Nderecha|, \Delta_2=Izquierda=comienzo de la matriz a_1 y c_1, a_2 y c_2, fin de la matriz a la derecha, Delta=Izquierda=comienzo de la matriz a_1 y b_1, a_2 y b_2, fin de la matriz a la derecha.
La regla de Cramer
En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga una solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrada) y de las matrices obtenidas a partir de ella sustituyendo una columna por el vector de columnas de los lados derechos de las ecuaciones. Recibe su nombre de Gabriel Cramer (1704-1752), que publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750,[1][2] aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748[3] (y posiblemente ya la conocía en 1729)[4][5][6].
La prueba de la regla de Cramer utiliza las siguientes propiedades de los determinantes: la linealidad con respecto a cualquier columna dada y el hecho de que el determinante es cero siempre que dos columnas sean iguales, lo que está implicado por la propiedad de que el signo del determinante cambia si se cambian dos columnas.
Fijemos el índice j de una columna. La linealidad significa que si consideramos sólo la columna j como variable (fijando las demás arbitrariamente), la función resultante[aclaración necesaria] Rn → R (suponiendo que las entradas de la matriz están en R) puede estar dada por una matriz, con una fila y n columnas, que actúa sobre la columna j. De hecho, esto es precisamente lo que hace la expansión de Laplace, escribiendo det(A) = C1a1,j + ⋯ + Cnan,j para ciertos coeficientes C1, …, Cn que dependen de las columnas de A distintas de la columna j (la expresión precisa de estos cofactores no es importante aquí). El valor det(A) es entonces el resultado de aplicar la matriz unifilar L(j) = (C1 C2 ⋯ Cn) a la columna j de A. Si se aplica L(j) a cualquier otra columna k de A, el resultado es el determinante de la matriz obtenida de A sustituyendo la columna j por una copia de la columna k, por lo que el determinante resultante es 0 (el caso de dos columnas iguales).