Calculadora del método de Euler
Sea \(\frac{dS(t)}{dt} = F(t,S(t))\frac) una EDO de primer orden definida explícitamente. Es decir, \(F\) es una función que devuelve la derivada, o el cambio, de un estado dado un tiempo y un valor de estado. Además, dejemos que \(t\) sea una malla numérica del intervalo \([t_0, t_f]\) con un espaciado \(h\). Sin pérdida de generalidad, suponemos que \(t_0 = 0\), y que \(t_f = Nh\) para algún entero positivo, \(N\).
Esta fórmula se llama la Fórmula Explícita de Euler, y nos permite calcular una aproximación para el estado en \(S(t_{j+1})\Ndado el estado en \(S(t_j)\N.) Partiendo de un valor inicial dado de \(S_0 = S(t_0)\), podemos utilizar esta fórmula para integrar los estados hasta \(S(t_f)\); estos valores \(S(t)\) son entonces una aproximación para la solución de la ecuación diferencial. La fórmula explícita de Euler es el método más sencillo e intuitivo para resolver los problemas de valor inicial. En cualquier estado \((t_j, S(t_j))\Nse utiliza \N(F\) en ese estado para “apuntar” hacia el siguiente estado y luego se mueve en esa dirección una distancia de \N(h\N). Aunque hay métodos más sofisticados y precisos para resolver estos problemas, todos tienen la misma estructura fundamental. Por ello, enumeramos explícitamente los pasos para resolver un problema de valor inicial utilizando la fórmula de Euler explícita.
Método de Euler mejorado
La siguiente sección aborda la tarea de aproximar numéricamente las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Julia tiene un enorme conjunto de herramientas de última generación para esta tarea, empezando por el paquete DifferentialEquations. No utilizamos ese paquete en esta sección, centrándonos en métodos e implementaciones más sencillas con fines pedagógicos, pero cualquier exploración posterior debería utilizar las herramientas proporcionadas en él. En la siguiente sección se hace una breve introducción al paquete.
Acabamos de desplazar los índices hacia adelante en $1$. Pero, gráficamente, ¿qué es esto? Toma la punta de la primera parte de nuestra solución “cosida”, encuentra la pendiente presentada allí ([1, F(y,x)]) y luego utiliza esta dirección para coser una pieza más.
No está mal. No esperamos que esto sea exacto – debido a la concavidad de la solución, cada paso es una subestimación. Sin embargo, vemos que es una buena aproximación y probablemente sería mejor con un $h$ más pequeño. Un tema que trataremos dentro de un rato.
En los ejemplos, veremos que para muchos problemas el método de Euler simple es satisfactorio, pero no siempre lo es. La tarea de resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales no es de talla única. A continuación, se presentan algunas modificaciones diferentes del método de Euler básico, pero esto sólo araña la superficie del tema.
Solución numérica de ecuaciones diferenciales
El método numérico más sencillo para resolver la ecuación \ref{eq:3.1.1} es el método de Euler. Este método es tan burdo que rara vez se utiliza en la práctica; sin embargo, su simplicidad lo hace útil para fines ilustrativos. El método de Euler se basa en la suposición de que la línea tangente a la curva integral de la ecuación \ref{ecuación:3.1.1} en \((x_i,y(x_i))\fijada se aproxima a la curva integral sobre el intervalo \f([x_i,x_{i+1}]\f). Dado que la pendiente de la curva integral de la ecuación \ref{ec:3.1.1} en \((x_i,y(x_i))\) es \(y'(x_i)=f(x_i,y(x_i))\f), la ecuación de la recta tangente a la curva integral en \((x_i,y(x_i))\f es
\y_1 &= y_0+hf(x_0,y_0) \\\N y= 1+(0.1)f(0,1)=1+(0.1)(-2)=0.8,\N[4pt] y_2 &= y_1+hf(x_1,y_1)\Ny = 0.8+(0.1)f(0.1,0.8)=0.8+(0.1)\Ndejando de lado(-2(0. 8)+(0.1)^3e^{-0.2}\a la derecha)= 0.640081873,\a[4pt] y_3 & = y_2+hf(x_2,y_2)\a la izquierda(-2(0.640081873)+(0.2)^3e^{-0.4}\a la derecha)= 0.512601754. \end{align*}]
Hemos escrito los detalles de estos cálculos para que entiendas el procedimiento. Sin embargo, en el resto de los ejemplos, así como en los ejercicios de este capítulo, supondremos que puedes utilizar una calculadora programable o un ordenador para realizar los cálculos necesarios.
Euler-methode
Método de EulerEl método de Euler es una técnica de aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden. Llamado así por el matemático Leonhard Euler, el método se basa en el hecho de que la ecuación {eq}y’=f(x,y) {/eq} puede utilizarse para calcular la derivada de la solución en cualquier punto. La derivada, que representa la tasa de cambio instantánea de la solución, puede utilizarse para definir una aproximación lineal de la solución. A partir de cualquier condición inicial, se pueden utilizar aproximaciones sucesivas para extrapolar valores de la solución punto por punto. El resultado es una aproximación de la curva de la solución desconocida {eq}y(x) {/eq} como una serie de segmentos rectilíneos, que conectan cada punto calculado mediante el método de Euler.
La fórmula del método de Euler es y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). y_n representa el valor actual de un punto de la solución, e y_{n+1} es el siguiente valor, para un incremento en la variable x igual al tamaño del paso h.
Consideremos la ecuación diferencial y’=f(x,y) =x-y, con condición inicial (x_0, y_0)=(1,0) y tamaño de paso h=0,5. Para x=0,5, el siguiente valor de y es aproximadamente y_1 = y_0+hf(x_0,y_0)=0+0,5(1-0)=0,5. La fórmula puede iterarse para determinar y_2 sustituyendo (x_1, y_1)=(0,5, 0,5), y el proceso puede continuar hasta y_3 y más.