Ecuación diferencial lineal de primer orden
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Como veremos en este capítulo, no hay una fórmula general para la solución de \ ~(\eqref{eq:eq1}\). Lo que haremos en su lugar es ver varios casos especiales y ver cómo resolverlos. También vamos a ver algo de la teoría detrás de las ecuaciones diferenciales de primer orden, así como algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. A continuación se muestra una lista de los temas tratados en este capítulo.
Ecuaciones lineales – En esta sección resolvemos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es decir, ecuaciones diferenciales de la forma \(y’ + p(t) y = g(t)\Nde). Damos una visión general en profundidad del proceso utilizado para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, así como una derivación de la fórmula necesaria para el factor integrador utilizado en el proceso de solución.
Ecuación diferencial de segundo orden
Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son métodos utilizados para encontrar aproximaciones numéricas a las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como “integración numérica”, aunque este término también puede referirse al cálculo de integrales.
Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse mediante el cálculo simbólico (“análisis”). Sin embargo, para fines prácticos -como en la ingeniería- suele ser suficiente una aproximación numérica a la solución. Los algoritmos estudiados aquí pueden utilizarse para calcular dicha aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo para obtener una expansión en serie de la solución.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se dan en muchas disciplinas científicas, como la física, la química, la biología y la economía[1] Además, algunos métodos de ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse.
Sin perder la generalidad de los sistemas de orden superior, nos limitamos a las ecuaciones diferenciales de primer orden, porque una EDO de orden superior puede convertirse en un sistema más grande de ecuaciones de primer orden introduciendo variables adicionales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden y′′ = -y puede reescribirse como dos ecuaciones de primer orden: y′ = z y z′ = -y.
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
donde a (x) y f (x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Consideramos dos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
La solución general de la ecuación homogénea contiene una constante de integración \(C.\) Sustituimos la constante \(C\) por una determinada función (aún desconocida) \(C\left( x \right).\N-) Sustituyendo esta solución en la ecuación diferencial no homogénea, podemos determinar la función \(C\left( x \right).\N)
Si además de la ecuación diferencial, existe una condición inicial en forma de \(y\left( {{x_0}\right) = {y_0},\) dicho problema se denomina problema de valor inicial (PIV) o problema de Cauchy.
\N – [x{{dy}} {{dx}} = y,\N; \N – Flecha derecha \N – frac {{dy}} {y} = \N frac {{dx}},\N – Flecha derecha int {{frac {{dy}} = \Nint {{dx}} \N – Flecha derecha \N – Izquierda y derecha = \N – Izquierda x derecha + \N – C,\N – Flecha derecha y = Cx,\N – Flecha izquierda]
[x\left[ {C’\left( x \right)x + C\left( x \right)} \right] = C\left( x \right)x + 2{x^3},\\\\️; \Rightarrow C’\left( x \right){x^2} + \cãncel{cã “lula( x \right)x} = \cãncel{cã “lula( x \right)x} + 2{x^3},\N; \NFlecha derecha C’\Nizquierda( x \Nderecha) = 2x.\N-]
Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Aquí, \(F\) es una función de tres variables que etiquetamos \(t\), \(y\), y \(\dot{y}\). Se entiende que \(\dot{y}\) aparecerá explícitamente en la ecuación aunque \(t\) y \(y\) no necesitan. El término “primer orden” significa que la primera derivada de \(y\) aparece, pero ninguna derivada de orden superior lo hace.
La ecuación general de primer orden es demasiado general, es decir, no podemos describir métodos que funcionen con todas, o incluso con una gran parte de ellas. Podemos avanzar con tipos específicos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por ejemplo, se puede decir mucho sobre ecuaciones de la forma \(\dot{y} = \phi (t, y)\) donde \(\phi \) es una función de las dos variables \(t\) y \(y\). Bajo condiciones razonables sobre \(\phi\), dicha ecuación tiene solución y el correspondiente problema de valor inicial tiene una solución única. Sin embargo, en general, estas ecuaciones pueden ser muy difíciles o imposibles de resolver explícitamente.
Consideremos este ejemplo específico de un problema de valor inicial para la ley de enfriamiento de Newton: \(\dot y = 2(25-y)\), \(y(0)=40\). Primero observamos que si \(y(t_0) = 25\), el lado derecho de la ecuación diferencial es cero, y por tanto la función constante \(y(t)=25\) es una solución de la ecuación diferencial. No es una solución del problema de valor inicial, ya que \(y(0)\ no=40\). (La interpretación física de esta solución constante es que si un líquido está a la misma temperatura que sus alrededores, entonces el líquido permanecerá a esa temperatura). Mientras \(y\) no sea 25, podemos reescribir la ecuación diferencial como