Resolver la ecuación diferencial logística
Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para representar el tamaño de una población a medida que varía en el tiempo. Lo vimos en un capítulo anterior en la sección sobre crecimiento y decrecimiento exponencial, que es el modelo más sencillo. Un modelo más realista incluye otros factores que afectan al crecimiento de la población. En esta sección, estudiamos la ecuación diferencial logística y vemos cómo se aplica al estudio de la dinámica de la población en el contexto de la biología.
Para modelar el crecimiento de la población mediante una ecuación diferencial, primero tenemos que introducir algunas variables y términos relevantes. La variable \(t\). representará el tiempo. Las unidades de tiempo pueden ser horas, días, semanas, meses o incluso años. Cualquier problema dado debe especificar las unidades utilizadas en ese problema en particular. La variable \(P\) representará la población. Como la población varía con el tiempo, se entiende que es una función del tiempo. Por lo tanto, utilizamos la notación \(P(t)\Npara la población en función del tiempo. Si \(P(t)\Nes una función diferenciable, entonces la primera derivada \Nfrac{dP}{dt}\Nrepresenta la tasa de cambio instantánea de la población en función del tiempo.
Función de crecimiento limitada
tal vez la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo va a ser proporcional a la propia población. Que la tasa aumentará a medida que la población aumenta. Y cuando se trata de resolver esta ecuación diferencial, se trata de encontrar un N de
una población de N no, este es el eje del tiempo, este es el eje de la población. Y a medida que el tiempo aumenta, la población aumenta exponencialmente. Ahora dijimos que hay un problema allí. ¿Qué pasa si Thomas Malthus tiene razón? Que el medio ambiente no puede soportar… digamos que el
realmente no puede soportar más de K, más de una población de K. Entonces claramente la población no puede ir y pasar por el techo. No van a poder tener comida, o agua o recursos
Puedo hacer un trabajo bastante bueno “de modelar el tipo de comportamiento “que Malthus está hablando.” Y él dice que lo que realmente queremos es algo… Permítanme escribirlo, por lo que la tasa … vamos a tratar de modelar. Vamos a establecer otro
crecimiento exponencial. Pero tal vez podemos amortiguar esto, o tal vez podemos llevar este crecimiento a cero como N se acerca a K. Y así, ¿cómo podemos realmente modificar esto? Tal vez podamos multiplicarlo por algo que para cuando N es pequeño, cuando N es mucho más pequeño que K, este término de aquí
Ecuación diferencial de crecimiento logístico
El crecimiento de la población de la Tierra es uno de los problemas más acuciantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección, veremos dos formas de utilizar las ecuaciones diferenciales para ayudarnos a responder a estas preguntas.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando hay un número mayor de personas, habrá más nacimientos y muertes, por lo que se espera una tasa de cambio mayor.
Nuestro trabajo en la actividad 7.6.2 muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para los años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si nos adentramos demasiado en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca de forma arbitraria. Esto no tiene mucho sentido, ya que no es realista esperar que la Tierra pueda soportar una población tan grande.
En el modelo exponencial que introdujimos en la actividad 7.6.2, la tasa de crecimiento per cápita es constante. Esto significa que cuando la población es grande, la tasa de crecimiento per cápita es la misma que cuando la población es pequeña. Es natural pensar que la tasa de crecimiento per cápita debería disminuir cuando la población es grande, ya que no habrá suficientes recursos para mantener a tanta gente. Sería un modelo más realista suponer que la tasa de crecimiento per cápita depende de la población \(P\text{.}\}
Modelo de crecimiento de la población
Es probable que hayas estudiado el crecimiento exponencial e incluso hayas modelado poblaciones utilizando funciones exponenciales. En esta sección veremos las ecuaciones diferenciales que conducen a los modelos de crecimiento exponencial, y luego perfeccionaremos esos modelos para incluir cierta presión para que las poblaciones no crezcan más allá de un determinado límite.
La derivada es el cambio en la población (n) con el tiempo, y k es una constante que sería una característica de la población específica – una constante de proporcionalidad. Podemos separar las variables e integrar,
Esa es la solución general, una de toda una familia de soluciones de este tipo, como ocurre siempre con las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales. Si conocemos la población en un momento dado, podemos resolver para A (suponemos que ya conocemos k) para obtener una solución específica. Digamos que en el momento t = 0, la población es 0,5 (tal vez eso signifique 500 o 5000 … )
Una forma de mostrar el concepto de pasar de una solución general a una ecuación diferencial a una solución específica es el llamado campo de pendiente. Un campo de pendiente se calcula enchufando (n, t) puntos de la cuadrícula en la ecuación diferencial y trazando la dirección de la derivada. No es necesario resolver la ecuación para calcular un campo de pendiente. En el campo de pendiente de abajo, he dibujado la solución específica que resultaría de nuestra condición de contorno (0, 0,5) y la solución que resultaría de la condición de contorno (1, 1,5). Cada una de ellas es simplemente la curva del campo de pendiente que pasa por ese punto.